Función Sherman

Cuando un haz de electrones está polarizado, se produce un desequilibrio entre el espín hacia arriba,${\displaystyle n_{up}}$y electrones con espín hacia abajo ,${\displaystyle n_{down}}$, existe. El desequilibrio puede evaluarse a través de la polarización.${\displaystyle P}$^{[ 4 ]} definido como

${\displaystyle P={\frac {n_{arriba}-n_{abajo}}{n_{arriba}+n_{abajo}}}}$.

Se sabe que, cuando un electrón colisiona con un núcleo, el evento de dispersión está regido por la interacción de Coulomb . Este es el término principal del hamiltoniano , pero se puede tener en cuenta una corrección debida al acoplamiento espín-órbita y el efecto sobre el hamiltoniano se puede evaluar con la teoría de perturbaciones . La interacción espín-órbita se puede evaluar, en el sistema de referencia en reposo del electrón, como el resultado de la interacción del momento magnético de espín del electrón.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$

con el campo magnético que ve el electrón, debido a su movimiento orbital alrededor del núcleo, cuya expresión en el límite no relativista es:

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$

En estas expresiones${\displaystyle \mathbf {S} }$es el momento angular de espín,${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$es el magnetón de Bohr ,${\displaystyle g_{\text{s}}}$es el factor g ,${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa del electrón ,${\displaystyle e}$es la carga elemental ,${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,${\displaystyle U=eV}$es la energía potencial del electrón y${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$es el momento angular .

Debido al acoplamiento espín-órbita, aparecerá un nuevo término en el hamiltoniano, cuya expresión es ^{[ 5 ].}

${\displaystyle V_{\text{SO}}=-{\boldsymbol {\mu _{s}}}\cdot \mathbf {B} }$.

Debido a este efecto, los electrones se dispersarán con diferentes probabilidades en diferentes ángulos. Dado que el acoplamiento espín-órbita se ve potenciado cuando los núcleos involucrados poseen un número atómico Z elevado , el blanco suele estar hecho de metales pesados , como el mercurio, ^{[ 1 ]} el oro ^{[ 6 ]} y el torio . ^{[ 7 ]}

Si colocamos dos detectores al mismo ángulo del objetivo, uno a la derecha y otro a la izquierda, generalmente medirán un número diferente de electrones.${\displaystyle n_{R}}$y${\displaystyle n_{L}}$. En consecuencia, es posible definir la asimetría${\displaystyle A}$, como ^{[ 2 ]}

${\displaystyle A={\frac {n_{R}-n_{L}}{n_{R}+n_{L}}}}$.

La función Sherman${\displaystyle S(\theta )}$es una medida de la probabilidad de que un electrón con espín hacia arriba se disperse en un ángulo específico.${\displaystyle \theta }$, a la derecha o a la izquierda del objetivo, debido al acoplamiento espín-órbita. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Puede asumir valores que van desde -1 (el electrón con espín hacia arriba se dispersa con una probabilidad del 100% a la izquierda del objetivo) hasta +1 (el electrón con espín hacia arriba se dispersa con una probabilidad del 100% a la derecha del objetivo). El valor de la función de Sherman depende de la energía del electrón incidente, evaluada mediante el parámetro${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$. ^{[ 1 ]} Cuando${\displaystyle S(\theta )=0}$, los electrones con espín hacia arriba se dispersarán con la misma probabilidad a la derecha y a la izquierda del objetivo. ^{[ 1 ]}

Entonces es posible escribir

${\displaystyle n_{R}={\frac {n_{arriba}[1+S(\theta )]+n_{abajo}[1-S(\theta )]}{2}}}$

${\displaystyle n_{L}={\frac {n_{arriba}[1-S(\theta )]+n_{abajo}[1+S(\theta )]}{2}}.}$

Sustituyendo estas fórmulas dentro de la definición de asimetría, es posible obtener una expresión simple para la evaluación de la asimetría en un ángulo específico.${\displaystyle \theta }$, ^{[ 10 ]} es decir :

${\displaystyle A=PS(\theta )}$.

Existen cálculos teóricos disponibles para diferentes blancos atómicos ^{[ 1 ] [ 11 ]} y para un blanco específico, en función del ángulo. ^{[ 8 ]}

En el panel se muestra un ejemplo del principio de funcionamiento de un detector Mott, suponiendo un valor para${\displaystyle S(\theta )=0.5}$Si un haz de electrones con una proporción de 3:1 de electrones con espín hacia arriba sobre electrones con espín hacia abajo choca con el objetivo, se dividirá con una proporción de 5:3, según la ecuación anterior, con una asimetría del 25%.