ecuación séxtica

En álgebra , un polinomio séxtico (o hexico ) es un polinomio de grado seis. Una ecuación séxtica es una ecuación polinómica de grado seis; es decir, una ecuación cuyo lado izquierdo es un polinomio séxtico y cuyo lado derecho es cero. Más precisamente, tiene la forma:

${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\,}$

donde a ≠ 0 y los coeficientes a , b , c , d , e , f , g pueden ser enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo .

Una función séxtica es una función definida por un polinomio séxtico. Debido a que tienen grado par, las funciones séxticas se parecen a las funciones cuárticas al graficarlas, excepto que pueden tener un máximo y un mínimo local adicionales . La derivada de una función séxtica es una función quíntica .

Dado que una función séxtica se define mediante un polinomio de grado par, su límite infinito es el mismo tanto si el argumento tiende a infinito positivo como negativo . Si el coeficiente principal a es positivo, la función tiende a infinito positivo en ambos extremos y, por lo tanto, tiene un mínimo global. Del mismo modo, si a es negativo, la función tiende a infinito negativo y tiene un máximo global.

Algunas ecuaciones de sexto grado, como ax⁶ + dx³ + g = 0 ^, se pueden resolver factorizando en radicales, pero otras de sexto grado no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada se podía resolver mediante radicales ^, lo que dio origen al campo de la teoría de Galois .

De la teoría de Galois se deduce que una ecuación séxtica es resoluble en términos de radicales si y solo si su grupo de Galois está contenido en el grupo de orden 48 que estabiliza una partición del conjunto de las raíces en tres subconjuntos de dos raíces o en el grupo de orden 72 que estabiliza una partición del conjunto de las raíces en dos subconjuntos de tres raíces.

Existen fórmulas para comprobar ambos casos y, si la ecuación es resoluble, calcular las raíces en términos de radicales. ^{[ 1 ]}

La curva de Watt , que surgió en el contexto de los primeros trabajos sobre la máquina de vapor , es una función sextica en dos variables.

Un método para resolver la ecuación cúbica consiste en transformar las variables para obtener una ecuación séxtica que tenga términos solo de grados 6, 3 y 0, la cual se puede resolver como una ecuación cuadrática en el cubo de la variable.

El término «séxtico» proviene de la raíz latina que significa 6 o sexto («sex-t-») y del sufijo griego que significa «relativo a» («-ico»). El término «héxico», mucho menos común, utiliza el griego tanto para su raíz ( hex- 6) como para su sufijo ( -ik- ). En ambos casos, el prefijo se refiere al grado de la función. A menudo, este tipo de funciones se denominan simplemente «funciones de sexto grado».

• El sextic de Cayley
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