Conjunto semialgebraico

En matemáticas , un conjunto semialgebraico básico es un conjunto definido por igualdades y desigualdades polinómicas, y un conjunto semialgebraico es una unión finita de conjuntos semialgebraicos básicos. Una función semialgebraica es una función con una gráfica semialgebraica . Dichos conjuntos y funciones son el principal objeto de estudio de la geometría algebraica real, la parte de la geometría algebraica dedicada a los puntos con coordenadas reales .

El teorema de Tarski-Seidenberg implica que los conjuntos semialgebraicos son precisamente aquellos conjuntos que pueden definirse mediante una fórmula bien formada construida con cuantificadores .${\displaystyle \forall ,\exists }$, conectores lógicos​${\displaystyle \land ,\lor ,\lnot }$, operadores aritméticos básicos${\displaystyle +,-,\times ,/}$, signos de igualdad y desigualdad​${\displaystyle =,<,\leq }$, números enteros y variables querepresentan números reales.

Dejar${\displaystyle \mathbb {R} }$sea ​​el campo de los números reales o, más generalmente, cualquier campo real cerrado .

Un conjunto semialgebraico básico en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el conjunto de soluciones comunes de un número finito de ecuaciones e inecuaciones polinómicas de la forma $${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$$ o$${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})>0,}$$ ¡Whee !${\displaystyle P}$y​ ​${\displaystyle Q}$son coeficientes polinómicos

Un conjunto semialgebraico en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es una unión finita de conjuntos semialgebraicos básicos.

El teorema de Tarski-Seidenberg y las reglas básicas del álgebra booleana y del álgebra implican que los conjuntos de semiálgebra son precisamente aquellos subconjuntos de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que puede definirse mediante una fórmula bien formada construida a partir de los cuantificadores${\displaystyle \forall ,\exists }$, los conectores lógicos${\displaystyle \land ,\lor ,\lnot }$, los operadores aritméticos${\displaystyle +,-,\times ,/}$⁠ , números enteros y las variables ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$.​

Así pues, la definición de conjuntos semialgebraicos puede considerarse como una especie de forma normal para esta clase general de fórmulas de primer orden .

En​${\displaystyle \mathbb {R} }$Un conjunto semialgebraico es la unión de un número finito de intervalos cuyos extremos son números algebraicos ; esto incluye intervalos de longitud cero que se reducen cada uno a un único número algebraico. A la inversa, dicha unión siempre es un conjunto semialgebraico.

Para demostrar esto, primero definimos algunos conjuntos semialgebraicos básicos especiales. Luego, demostramos que todo conjunto algebraico básico es una unión disjunta de dichos conjuntos especiales y que esto implica el resultado.

Por definición de número algebraico, un número algebraico${\displaystyle \alpha }$es una raíz de un polinomio libre de cuadrados${\displaystyle P(x)}$con coeficientes enteros y coeficiente principal positivo (la condición libre de cuadrados implica que el polinomio cambia de signo en cada raíz). El aislamiento de raíces reales proporciona algoritmos para calcular dos números racionales .${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle a<\alpha <b}$y no hay otra raíz de${\displaystyle P}$en el intervalo${\displaystyle [a,b]}$⁠ . Entonces, el singleton $${\displaystyle \{\alpha \}=\{x\mid P(x)=0\land xa>0\land bx>0\}}$$ es un conjunto semialgebraico básico.

Con la misma notación, si${\displaystyle \alpha }$es la raíz más grande de${\displaystyle P}$⁠ , el intervalo abierto ⁠${\displaystyle (\alpha,+\infty)}$un conjunto semialgebraico básico, ya que $${\displaystyle (\alpha ,+\infty )=\{x\mid P(x)>0\land xa>0\}.}$$

De manera similar, si${\displaystyle \alpha }$Si es la raíz más pequeña, se tiene el conjunto semialgebraico básico. $${\displaystyle (-\infty ,\alpha )=\{x\mid P(a)P(x)>0\land bx>0\}.}$$

Si​${\displaystyle \alfa <\beta }$son dos raíces consecutivas de${\displaystyle P}$El aislamiento de raíces reales proporciona tres números racionales .${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle a<\alpha <b<\beta <c}$y el intervalo${\displaystyle [a,b]}$⁠ no contiene ninguna otra raíz de ⁠${\displaystyle P}$⁠ . En este caso, $${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\mid P(b)P(x)>0\land cx>0\land xa>0\}}$$expresa​${\displaystyle (\alpha,\beta)}$como un conjunto algebraico básico.

Ahora bien, dado un conjunto semialgebraico básico, hay dos casos: primero, si su definición contiene al menos una ecuación .${\displaystyle P(x)=0}$⁠ , el conjunto consta de un subconjunto de las raíces de ⁠${\displaystyle P}$⁠ , y es, por lo tanto, la unión de los conjuntos básicos especiales mencionados anteriormente.

Si no hay ninguna ecuación en la definición del conjunto algebraico básico, tiene la forma $${\displaystyle S=\{x\mid P_{1}(x)>0\land \cdots \land P_{k}(x)>0\}.}$$Dado que cada${\displaystyle P_{i}}$⁠ tiene un signo constante en cada intervalo abierto delimitado por dos raíces consecutivas del producto ⁠${\displaystyle P=P_{1}\cdots P_{k}}$⁠ , el conjunto ⁠${\displaystyle S}$es la unión de algunos de estos intervalos y, por lo tanto, una unión de conjuntos semialgebraicos básicos especiales.

El resultado final se deduce ya que una unión finita de conjuntos unitarios e intervalos abiertos es también una unión disjunta de puntos e intervalos.

De forma similar a las subvariedades algebraicas , las uniones e intersecciones finitas de conjuntos semialgebraicos siguen siendo conjuntos semialgebraicos. Además, a diferencia de las subvariedades, el complemento de un conjunto semialgebraico también es semialgebraico. Por último, y lo más importante, el teorema de Tarski-Seidenberg establece que también son cerrados bajo la operación de proyección: en otras palabras, un conjunto semialgebraico proyectado sobre un subespacio lineal produce otro conjunto semialgebraico (como ocurre con la eliminación de cuantificadores ). Estas propiedades , en conjunto, implican que los conjuntos semialgebraicos forman una estructura o-minimal en R.

Se dice que un conjunto (o función) semialgebraico está definido sobre un subanillo A de R si existe alguna descripción, como en la definición, donde los polinomios pueden elegirse de manera que sus coeficientes pertenezcan a A.

En un subconjunto abierto denso del conjunto semialgebraico S , este es (localmente) una subvariedad . Se puede definir la dimensión de S como la dimensión máxima en los puntos donde es una subvariedad. Es fácil ver que un conjunto semialgebraico se encuentra dentro de una subvariedad algebraica de la misma dimensión.

• Desigualdad de Łojasiewicz
• Teoría existencial de los reales
• Conjunto subanalítico
• Espacio algebraico por partes

• Bochnak, J.; Coste, M.; Roy, M.-F. (1998), Geometría algebraica real , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 9783662037188.
• Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Conjuntos semianalíticos y subanalíticos" , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , 67 : 5–42 , doi : 10.1007/BF02699126 , MR 0972342 , S2CID 56006439  .
• van den Dries, L. (1998), Topología domesticada y estructuras o -mínimas , Cambridge University Press, ISBN 9780521598385.

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