Modelo semiparamétrico

En estadística , un modelo semiparamétrico es un modelo estadístico que tiene componentes paramétricos y no paramétricos .

Un modelo estadístico es una familia parametrizada de distribuciones:${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$indexado por un parámetro${\displaystyle \theta }$.

• Un modelo paramétrico es un modelo en el que el parámetro de indexación${\displaystyle \theta }$es un vector en${\displaystyle k}$espacio euclidiano de -dimensiones , para algún entero no negativo${\displaystyle k}$. ^{[ 1 ]} Por lo tanto,${\displaystyle \theta }$es de dimensión finita y${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$.
• Con un modelo no paramétrico , el conjunto de posibles valores del parámetro${\displaystyle \theta }$es un subconjunto de algún espacio${\displaystyle V}$, que no necesariamente es de dimensión finita. Por ejemplo, podríamos considerar el conjunto de todas las distribuciones con media 0. Dichos espacios son espacios vectoriales con estructura topológica , pero pueden no ser de dimensión finita como espacios vectoriales. Por lo tanto,${\displaystyle \Theta \subseteq V}$para algún espacio posiblemente de dimensión infinita${\displaystyle V}$.
• Con un modelo semiparamétrico, el parámetro tiene tanto un componente de dimensión finita como un componente de dimensión infinita (a menudo una función de valor real definida en la recta real). Por lo tanto,${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$, dónde${\displaystyle V}$es un espacio de dimensión infinita.

Puede parecer a primera vista que los modelos semiparamétricos incluyen modelos no paramétricos, ya que tienen un componente de dimensión infinita y otro de dimensión finita. Sin embargo, un modelo semiparamétrico se considera "más pequeño" que un modelo completamente no paramétrico porque a menudo solo nos interesa el componente de dimensión finita.${\displaystyle \theta }$Es decir, el componente de dimensión infinita se considera un parámetro de perturbación . ^{[ 2 ]} En los modelos no paramétricos, por el contrario, el interés principal radica en estimar el parámetro de dimensión infinita. Por lo tanto, la tarea de estimación es estadísticamente más difícil en los modelos no paramétricos.

Estos modelos suelen utilizar suavizado o funciones núcleo .

Un ejemplo bien conocido de un modelo semiparamétrico es el modelo de riesgos proporcionales de Cox . ^{[ 3 ]} Si estamos interesados ​​en estudiar el tiempo${\displaystyle T}$Ante un evento como la muerte por cáncer o la falla de una bombilla, el modelo de Cox especifica la siguiente función de distribución para${\displaystyle T}$:

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right),}$

dónde${\displaystyle x}$es el vector de covariables, y${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \lambda _ {0}(u)}$son parámetros desconocidos. ${\displaystyle \theta =(\beta,\lambda _ {0}(u))}$. Aquí${\displaystyle \beta }$es de dimensión finita y es de interés;${\displaystyle \lambda _ {0}(u)}$es una función no negativa desconocida del tiempo (conocida como la función de riesgo base) y a menudo es un parámetro de molestia . El conjunto de posibles candidatos para${\displaystyle \lambda _ {0}(u)}$es de dimensión infinita.

• regresión semiparamétrica
• Modelo estadístico
• Método generalizado de momentos

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• Härdle, Wolfgang; Müller, Marlene; Sperlich, Stefan; Werwatz, Axel (2004), Modelos no paramétricos y semiparamétricos , Springer
• Kosorok, Michael R. (2008), Introducción a los procesos empíricos y la inferencia semiparamétrica , Springer
• Tsiatis, Anastasios A. (2006), Teoría semiparamétrica y datos faltantes , Springer
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