Incrustaciones de Segre

En matemáticas , la incrustación de Segre es una aplicación utilizada en geometría proyectiva para considerar el producto cartesiano de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva . Recibe su nombre de Corrado Segre .

Escribimos${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$para${\displaystyle n}$Espacio proyectivo de dimensión (sobre algún campo). La incrustación de Segre se define como el mapa${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\ } dado en coordenadas homogéneas por

${\displaystyle \sigma ([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])=[X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\ }$

(los monomios${\displaystyle X_{i}Y_{j}}$se toman en orden lexicográfico ). La imagen del mapa es una variedad, llamada variedad Segre . A veces se escribe como${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$.

En el lenguaje del álgebra lineal , para espacios vectoriales U y V dados sobre el mismo cuerpo K , existe una forma natural de mapear linealmente su producto cartesiano a su producto tensorial .

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

En general, esto no tiene por qué ser inyectivo porque, para${\displaystyle u\in U}$,${\displaystyle v\in V}$y cualquier valor distinto de cero${\displaystyle c\in K}$,

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

Considerando los espacios proyectivos subyacentes${\displaystyle \mathbb {P} (U)}$y${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$, este mapeo se convierte en un morfismo de variedades

${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {P} (U)\times \mathbb {P} (V)\to \mathbb {P} (U\otimes V).\ }

Esto no es solo inyectivo en el sentido de la teoría de conjuntos: es una inmersión cerrada en el sentido de la geometría algebraica . Es decir, se puede dar un conjunto de ecuaciones para la imagen. Salvo problemas de notación, es fácil decir qué son tales ecuaciones: expresan dos maneras de factorizar productos de coordenadas del producto tensorial, obtenido de dos maneras diferentes como algo de U por algo de V.

Este mapeo o morfismo σ es la incrustación de Segre . Contando dimensiones, muestra cómo el producto de espacios proyectivos de dimensiones m y n se incrusta en dimensión

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

La terminología clásica llama a las coordenadas en el producto multihomogéneas , y al producto generalizado a k factores espacio proyectivo k-direccional .

La variedad de Segre es un ejemplo de variedad determinante ; es el lugar geométrico de los ceros de los menores de 2 × 2 de la matriz.${\displaystyle (Z_{i,j})}$. Es decir, la variedad de Segre es el lugar común de ceros de los polinomios cuadráticos.

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\ }$

Aquí,${\displaystyle Z_{i,j}}$Se entiende que es la coordenada natural en la imagen del mapa de Segre.

La variedad Segre${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$es el producto categórico (en la categoría de variedades proyectivas y aplicaciones polinómicas homogéneas) de${\displaystyle \mathbb {P^{n}} }$y${\displaystyle \mathbb {P^{m}} }$. ^{[ 1 ]} La proyección

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to \mathbb {P} ^{n}\ }$

El primer factor puede especificarse mediante m+1 aplicaciones en subconjuntos abiertos que cubren la variedad de Segre, que coinciden en las intersecciones de los subconjuntos. Para fijo${\displaystyle j_{0}}$, el mapa se da enviando${\displaystyle [Z_{i,j}]}$a${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}$. Las ecuaciones${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$Asegúrese de que estos mapas coincidan entre sí, porque si${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$tenemos${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}$.

Las fibras del producto son subespacios lineales. Es decir, sea

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to \mathbb {P} ^{n}\ }$

sea ​​la proyección al primer factor; y asimismo${\displaystyle \pi _{Y}}$para el segundo factor. Luego la imagen del mapa

${\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

para un punto fijo p es un subespacio lineal del codominio .

Dado que el mapa de Segre corresponde al producto categórico de espacios proyectivos, es un mapeo natural para describir estados no entrelazados en mecánica cuántica y teoría de la información cuántica . Más precisamente, el mapa de Segre describe cómo tomar productos de espacios de Hilbert proyectivos . ^{[ 2 ]}

En estadística algebraica , las variedades de Segre corresponden a modelos de independencia.

La incrustación de Segre de${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{8}}$es la única variedad Severi de dimensión 4.

• Harris, Joe (1995), Geometría algebraica: Un primer curso , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97716-4
• Hassett, Brendan (2007), Introducción a la geometría algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, pág.  154, doi : 10.1017/CBO9780511755224 , ISBN 978-0-521-69141-3, MR 2324354