condición inicial

Una ecuación de diferencias matriciales lineal de la forma homogénea (sin término constante)${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$tiene una solución de forma cerrada${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$basado en el vector${\displaystyle X_{0}}$de condiciones iniciales sobre las variables individuales que se apilan en el vector;${\displaystyle X_{0}}$Se denomina vector de condiciones iniciales o simplemente condición inicial, y contiene nk datos, donde n es la dimensión del vector X y k  =  1 es el número de retardos temporales del sistema. Las condiciones iniciales de este sistema lineal no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento futuro de la variable de estado X ; dicho comportamiento es estable o inestable en función de los valores propios de la matriz A, pero no en función de las condiciones iniciales.

Alternativamente, un proceso dinámico en una sola variable x que tiene múltiples retardos de tiempo es

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.}$

Aquí la dimensión es n  =  1 y el orden es k , por lo que el número necesario de condiciones iniciales para seguir el sistema a lo largo del tiempo, ya sea iterativamente o mediante una solución analítica, es nk  = k . Nuevamente, las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa de la evolución a largo plazo de la variable. La solución de esta ecuación se encuentra utilizando su ecuación característica. ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$para obtener las k soluciones de este último, que son los valores característicos.${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$para su uso en la ecuación de solución

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Aquí las constantes${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$se encuentran resolviendo un sistema de k ecuaciones diferentes basado en esta ecuación, cada una utilizando uno de los k valores diferentes de t para los cuales la condición inicial específica${\displaystyle x_{t}}$Es conocido.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n variables apiladas en un vector X es

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

Su comportamiento a lo largo del tiempo puede rastrearse con una solución de forma cerrada condicionada a un vector de condición inicial.${\displaystyle X_{0}}$El número de datos iniciales necesarios es igual a la dimensión n del sistema multiplicada por el orden k  =  1 del sistema, o n . Las condiciones iniciales no afectan el comportamiento cualitativo (estable o inestable) del sistema.

Una única ecuación lineal de ^orden k en una sola variable x es

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Aquí, el número de condiciones iniciales necesarias para obtener una solución en forma cerrada es la dimensión n  =  1 multiplicada por el orden k , o simplemente k . En este caso, las k piezas iniciales de información normalmente no serán diferentes valores de la variable x en diferentes momentos, sino más bien los valores de x y sus primeras k  –  1 derivadas, todas en algún momento, como el tiempo cero. Las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento del sistema. La ecuación característica de esta ecuación dinámica es${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$cuyas soluciones son los valores característicos${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$Estos se utilizan en la ecuación de solución.

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

Esta ecuación y sus primeras k – 1 derivadas forman un sistema de k ecuaciones que se puede resolver para los k parámetros.${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$dadas las condiciones iniciales conocidas sobre x y los valores de sus k – 1 derivadas en algún momento t .