Algoritmo de puntuación

El algoritmo de puntuación , también conocido como puntuación de Fisher , ^[1] es una forma del método de Newton utilizado en estadística para resolver numéricamente ecuaciones de máxima verosimilitud y lleva el nombre de Ronald Fisher .

Sean variables aleatorias , independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad de probabilidad dos veces diferenciable , y deseamos calcular el estimador de máxima verosimilitud (EMV) de . Primero, supongamos que tenemos un punto de partida para nuestro algoritmo , y consideramos una expansión de Taylor de la función de puntuación , , sobre : ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ ${\displaystyle f(y;\theta )}$${\displaystyle \theta ^{*}}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \theta_{0}}$${\displaystyle V(\theta )}$${\displaystyle \theta_{0}}$

${\displaystyle V(\theta )\approx V(\theta _{0})-{\mathcal {J}}(\theta _{0})(\theta -\theta _{0}),\,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta _{0})=-\sum _{i=1}^{n}\left.\nabla \nabla ^{\top }\right|_{\theta =\theta _{0}}\log f(Y_{i};\theta )}$

es la matriz de información observada en . Ahora, si fijamos , usamos eso y reorganizamos, obtenemos: ${\displaystyle \theta_{0}}$${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$${\displaystyle V(\theta ^{*})=0}$

${\displaystyle \theta ^{*}\approx \theta _{0}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{0})V(\theta _{0}).\,}$

Por lo tanto, utilizamos el algoritmo

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m}),\,}$

y bajo ciertas condiciones de regularidad, se puede demostrar que . ${\displaystyle \theta _{m}\rightarrow \theta ^{*}}$

En la práctica, normalmente se reemplaza por , la información de Fisher , lo que nos da el algoritmo de puntuación de Fisher : ${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathrm {E} [{\mathcal {J}}(\theta )]}$

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {I}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m})}$..

En ciertas condiciones de regularidad, si es un estimador consistente , entonces (la corrección después de un solo paso) es "óptima" en el sentido de que su distribución de error es asintóticamente idéntica a la de la verdadera estimación de máxima verosimilitud. ^[2]${\displaystyle \theta_{m}}$$estilo de visualización {\theta_{m+1}}$

• Puntuación (estadísticas)
• Prueba de puntuación
• Información de Fisher

• Jennrich, RI y Sampson, PF (1976). "Newton-Raphson y algoritmos relacionados para la estimación de componentes de varianza de máxima verosimilitud". Technometrics . 18 (1): 11–17. doi :10.1080/00401706.1976.10489395 (inactivo 2024-09-12). JSTOR  1267911.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo a partir de septiembre de 2024 ( enlace )