La desigualdad de Samuelson

En estadística , la desigualdad de Samuelson , llamada así por el economista Paul Samuelson , ^{[ 1 ]} también llamada desigualdad de Laguerre - Samuelson , ^{[ 2 ] [ 3 ]} por el matemático Edmond Laguerre , establece que cada uno de cualquier colección x ₁ ,  ..., x _n , está dentro de √ n − 1 desviaciones estándar de muestra no corregidas de su media de muestra.   

Si dejamos

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

sea ​​la media de la muestra y

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

Sea la desviación estándar de la muestra, entonces

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{para }}j=1,\dots ,n.}$^{[ 4 ]}

La igualdad se mantiene a la izquierda (o a la derecha) para${\displaystyle x_{j}}$si y solo si todos los n − 1  ${\displaystyle x_{i}}$s distinto de${\displaystyle x_{j}}$son iguales entre sí y mayores (menores) que${\displaystyle x_{j}.}$^{[ 2 ]}

Si en cambio define${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$entonces la desigualdad${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}}$sigue vigente y se puede ajustar ligeramente.${\displaystyle {\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.}$

La desigualdad de Chebyshev sitúa una determinada fracción de los datos dentro de ciertos límites, mientras que la desigualdad de Samuelson sitúa todos los puntos de datos dentro de ciertos límites.

Los límites establecidos por la desigualdad de Chebyshev no se ven afectados por el número de puntos de datos, mientras que, en el caso de la desigualdad de Samuelson, los límites se relajan a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Por lo tanto, para conjuntos de datos suficientemente grandes, la desigualdad de Chebyshev resulta más útil.

La desigualdad de Samuelson tiene varias aplicaciones en estadística y matemáticas . Es útil en la estudentización de residuos , lo que demuestra la razón por la cual este proceso debe realizarse externamente para comprender mejor la dispersión de los residuos en el análisis de regresión .

En la teoría de matrices , la desigualdad de Samuelson se utiliza para localizar los valores propios de ciertas matrices y tensores.

Además, las generalizaciones de esta desigualdad se aplican a datos complejos y variables aleatorias en un espacio de probabilidad . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Samuelson no fue el primero en describir esta relación: probablemente el primero fue Laguerre en 1880 mientras investigaba las raíces (ceros) de los polinomios . ^{[ 2 ] [ 7 ]}

Consideremos un polinomio con todas sus raíces reales:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

Sin pérdida de generalidad, dejemos${\displaystyle a_{0}=1}$y dejar

${\displaystyle t_{1}=\sum x_{i}}$y${\displaystyle t_{2}=\sum x_{i}^{2}}$

Entonces

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}}$

y

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ donde }}i<j}$

En términos de los coeficientes

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

Laguerre demostró que las raíces de este polinomio estaban acotadas por

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}}$

dónde

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}}$

La inspección muestra que${\displaystyle -{\tfrac {a_{1}}{n}}}$es la media de las raíces y b es la desviación estándar de las raíces.

Laguerre no se percató de esta relación con las medias y las desviaciones estándar de las raíces, pues estaba más interesado en los límites mismos. Esta relación permite una estimación rápida de los límites de las raíces y puede ser útil para su localización.

Cuando los coeficientes${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle a_{2}}$Si ambos son cero, no se puede obtener información sobre la ubicación de las raíces, porque no todas las raíces son reales (como se puede ver en la regla de los signos de Descartes ) a menos que el término constante también sea cero.