Geometría de Ruppeiner

La geometría de Ruppeiner es una geometría termodinámica (un tipo de geometría de la información ) que utiliza el lenguaje de la geometría riemanniana para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner la propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos pueden representarse mediante la geometría riemanniana y que se pueden derivar propiedades estadísticas del modelo.

Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de las fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio ; es decir, existen estados de equilibrio que pueden representarse mediante puntos en una superficie bidimensional (variedad) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con la fluctuación entre ellos. Este concepto se asocia a probabilidades, es decir, cuanto menos probable sea una fluctuación entre estados, mayor será la distancia entre ellos. Esto puede observarse si se considera el tensor métrico g _ij en la fórmula de distancia (elemento de línea) entre los dos estados de equilibrio.

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,}$

donde la matriz de coeficientes g _ij es el tensor métrico simétrico que se denomina métrica de Ruppeiner , definida como un hessiano negativo de la función de entropía.

${\displaystyle g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})}$

donde U es la energía interna (masa) del sistema y N ^a se refiere a los parámetros extensivos del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de la información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en estadística matemática.

La métrica de Ruppeiner puede entenderse como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información de Fisher más general . ^{[ 1 ]} Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), la métrica de Ruppeiner puede no existir, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía sean no negativas.

La métrica de Ruppeiner está relacionada conformemente con la métrica de Weinhold mediante

${\displaystyle ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,}$

donde T es la temperatura del sistema en consideración. La demostración de la relación conforme se puede realizar fácilmente escribiendo la primera ley de la termodinámica ( dU = TdS + ...) en forma diferencial con algunas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera una geometría termodinámica. Se define como un hessiano de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensivos.

${\displaystyle g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})}$

Se ha observado desde hace tiempo que la métrica de Ruppeiner es plana para sistemas con mecánica estadística subyacente no interactiva, como el gas ideal. Las singularidades de curvatura señalan comportamientos críticos. Además, se ha aplicado a diversos sistemas estadísticos, incluido el gas de Van der Waals . Recientemente, se ha estudiado el gas de aniones utilizando este enfoque.

Esta geometría se ha aplicado a la termodinámica de los agujeros negros , con algunos resultados físicamente relevantes. El caso más significativo desde el punto de vista físico es el del agujero negro de Kerr en dimensiones superiores, donde la singularidad de curvatura indica inestabilidad termodinámica, tal como se había detectado previamente mediante métodos convencionales.

La entropía de un agujero negro viene dada por la conocida fórmula de Bekenstein-Hawking.

${\displaystyle S={\frac {k_{\text{B}}c^{3}A}{4G\hbar }}}$

dónde${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann ,${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,${\displaystyle G}$es la constante de gravitación newtoniana y${\displaystyle A}$es el área del horizonte de sucesos del agujero negro. Calcular la geometría de Ruppeiner de la entropía del agujero negro es, en principio, sencillo, pero es importante que la entropía se escriba en términos de parámetros extensivos,

${\displaystyle S=S(M,N^{a})}$

dónde${\displaystyle M}$es la masa ADM del agujero negro y N ^a son las cargas conservadas y a va de 1 a n . La signatura de la métrica refleja el signo del calor específico del agujero . Para un agujero negro de Reissner-Nordström , la métrica de Ruppeiner tiene una signatura lorentziana que corresponde a la capacidad calorífica negativa que posee, mientras que para el agujero negro BTZ , tenemos una signatura euclidiana . Este cálculo no se puede realizar para el agujero negro de Schwarzschild, porque su entropía es

${\displaystyle S=S(M)}$

lo que hace que la métrica sea degenerada.

• Ruppeiner, George (1995). "Geometría riemanniana en la teoría de fluctuaciones termodinámicas". Reviews of Modern Physics . 67 (3): 605– 659. Bibcode : 1995RvMP...67..605R . doi : 10.1103/RevModPhys.67.605 ..
• Åman, John E.; Bengtsson, Ingemar; Pidokrajt, Narit; Ward, John (2008). «Geometrías termodinámicas de los agujeros negros». Undécima reunión Marcel Grossmann . págs. 1511–1513 . doi : 10.1142/9789812834300_0182 . ISBN  978-981-283-426-3.