Jerarquía de Jensen

En la teoría de conjuntos , una disciplina matemática, la jerarquía de Jensen o jerarquía J es una modificación de la jerarquía constructible de Gödel , L, que sortea ciertas dificultades técnicas presentes en la jerarquía constructible. La jerarquía J ocupa un lugar destacado en la teoría de la estructura fina, un campo impulsado por Ronald Jensen , de quien recibe su nombre. Las funciones rudimentarias describen un método para iterar a través de la jerarquía de Jensen.

Como en la definición de L , sea Def( X ) la colección de conjuntos definibles con parámetros sobre X : 

${\displaystyle {\textrm {Def}}(X):=\{\{y\in X\mid \Phi (y,z_{1},...,z_{n}){\text{ es verdadero en }}(X,\in )\}\mid \Phi {\text{ es una fórmula de primer orden}},z_{1},...,z_{n}\in X\}}$

La jerarquía constructable,${\displaystyle L}$se define por recursión transfinita . En particular, en los ordinales sucesores,${\displaystyle L_{\alpha +1}={\textrm {Def}}(L_{\alpha })}$.

La dificultad con esta construcción es que cada uno de los niveles no está cerrado bajo la formación de pares no ordenados ; para un dado${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$, el conjunto${\displaystyle \{x,y\}}$no será un elemento de${\displaystyle L_{\alpha +1}}$, puesto que no es un subconjunto de${\displaystyle L_{\alpha }}$.

Sin embargo,${\displaystyle L_{\alpha }}$tiene la propiedad deseable de ser cerrado bajo separación Σ ₀ . ^{[ 1 ]}

La modificación de Jensen de la jerarquía L conserva esta propiedad y la condición ligeramente más débil de que${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$, pero también está cerrado bajo emparejamiento. La técnica clave es codificar conjuntos definibles hereditariamente sobre${\displaystyle J_{\alpha }}$por códigos; luego${\displaystyle J_{\alpha +1}}$contendrá todos los conjuntos cuyos códigos estén en${\displaystyle J_{\alpha }}$.

Como${\displaystyle L_{\alpha }}$,${\displaystyle J_{\alpha }}$se define recursivamente . Para cada ordinal${\displaystyle \alpha }$, definimos${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$ser universal${\displaystyle \Sigma _{n}}$predicado para${\displaystyle J_{\alpha }}$Codificamos conjuntos definibles hereditariamente como${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$, con${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$. Luego configura${\displaystyle J_{\alpha ,n}:=\{X_{\alpha }(n,e)\mid e\in J_{\alpha }\}}$y finalmente,${\displaystyle J_{\alpha +1}:=\bigcup _{n\in \omega }J_{\alpha ,n}}$.

Cada subnivel J _{α , n} es transitivo y contiene todos los ordinales menores o iguales a ωα  + n . La secuencia de subniveles es estrictamente ⊆-creciente en n , ya que un predicado Σ _{m también es Σ n} para cualquier n > m . Por lo tanto, los niveles J _α serán transitivos y estrictamente ⊆-crecientes también, y también son cerrados bajo emparejamiento,    ${\displaystyle \Delta _{0}}$-comprensión y cierre transitivo . Además, tienen la propiedad de que

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\text{Def}}(J_{\alpha }),}$

como se desee. (O de forma un poco más general,${\displaystyle L_{\omega +\alpha }=J_{1+\alpha }\cap V_{\omega +\alpha }}$. ^{[ 2 ]} )

Los niveles y subniveles son uniformemente definibles Σ ₁ (es decir, la definición de J _{α , n} en J _β no depende de β ) y poseen un ordenamiento uniforme Σ _1. Además, los niveles de la jerarquía de Jensen satisfacen un lema de condensación muy similar al de los niveles de la jerarquía original de Gödel. 

Para cualquier${\displaystyle J_{\alpha }}$, considerando cualquier${\displaystyle \Sigma _{n}}$relación en${\displaystyle J_{\alpha }}$, existe una función de Skolem para esa relación que a su vez es definible por una${\displaystyle \Sigma _{n}}$fórmula. ^{[ 3 ]}

Una función rudimentaria es una función V ⁿ →V (es decir, una función finita que acepta conjuntos como argumentos) que se puede obtener a partir de las siguientes operaciones: ^{[ 2 ]}

• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i es rudimentario (ver función de proyección )
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = { x _i , x _j } es rudimentario
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i − x _j es rudimentario
• Cualquier combinación de funciones rudimentarias es rudimentaria.
• ∪ _{z ∈ y} G ( z , x ₁ , x ₂ , ...) es rudimentario, donde G es una función rudimentaria

Para cualquier conjunto M , sea rud( M ) el conjunto más pequeño que contiene M ∪{ M } cerrado bajo las funciones rudimentarias. Entonces la jerarquía de Jensen satisface J _{α +1} = rud( J _α ). ^{[ 2 ]}

Jensen define${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$, el${\displaystyle \Sigma _{n}}$proyecto de${\displaystyle \alpha }$, como la más grande${\displaystyle \beta \leq \alpha }$de tal manera que${\displaystyle (J_{\beta},A)}$es apto para todos${\displaystyle A\in \Sigma _{n}(J_{\alpha })\cap {\mathcal {P}}(J_{\beta })}$y el${\displaystyle \Delta _{n}}$proyecto de${\displaystyle \alpha }$se define de manera similar. Uno de los principales resultados de la teoría de la estructura fina es que${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$También es el más grande${\displaystyle \gamma }$de tal manera que no todos${\displaystyle \Sigma _{n}(J_{\alpha })}$subconjunto de${\displaystyle \omega \gamma}$es (en la terminología de la teoría de la α-recursión )${\displaystyle \alpha }$-finito. ^{[ 2 ]}

Lerman define el${\displaystyle S_{n}}$proyecto de${\displaystyle \alpha }$ser el más grande${\displaystyle \gamma }$de tal manera que no todos${\displaystyle S_{n}}$subconjunto de${\displaystyle \beta }$es${\displaystyle \alpha }$-finito, donde un conjunto es${\displaystyle S_{n}}$si es la imagen de una función${\displaystyle f(x)}$expresable como${\displaystyle \lim _{y_{1}}\lim _{y_{2}}\ldots \lim _{y_{n}}g(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$dónde${\displaystyle g}$es${\displaystyle \alpha }$-recursivo. En una caracterización al estilo de Jensen,${\displaystyle S_{3}}$proyecto de${\displaystyle \alpha }$es el más grande${\displaystyle \beta \leq \alpha }$de tal manera que haya una${\displaystyle S_{3}}$epimorfismo de${\displaystyle \beta }$sobre${\displaystyle \alpha }$. Existe un ordinal${\displaystyle \alpha }$cuyo${\displaystyle \Delta _{3}}$el proyecto es${\displaystyle \omega }$, pero cuyo${\displaystyle S_{n}}$el proyecto es${\displaystyle \alpha }$para todo natural${\displaystyle n}$. ^{[ 4 ]}

• Sy Friedman (2000) Estructura fina y forzamiento de clases , Walter de Gruyter, ISBN 3-11-016777-8