Matriz elemental

En matemáticas , una matriz elemental es una matriz cuadrada obtenida al aplicar una única operación elemental de fila a la matriz identidad . Las matrices elementales generan el grupo lineal general $GL n (F)$ cuando $F$ es un cuerpo . La multiplicación por la izquierda (premultiplicación) por una matriz elemental representa la operación elemental de fila correspondiente , mientras que la multiplicación por la derecha (postmultiplicación) representa la operación elemental de columna correspondiente .

Las operaciones elementales de fila se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a su forma escalonada por filas . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a una forma escalonada por filas reducida .

Operaciones elementales de fila

Existen tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones de fila (o de columna, respectivamente):

Cambio de filas: Una fila dentro de la matriz se puede intercambiar con otra fila.; ${\ Displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$

Multiplicación por filas: Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. Esto también se conoce como escalado de una fila.; $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{donde }}k\neq 0$

Adición de filas: Una fila puede ser reemplazada por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.; $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{donde }}i\neq j$

Si $E$ es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación elemental de fila a una matriz $A$ , se multiplica $A$ por la matriz elemental de la izquierda, $EA$ . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación sobre la matriz identidad . Este hecho puede entenderse como un ejemplo del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices. ^{[ 1 ]}

Transformaciones de intercambio de filas

El primer tipo de operación de fila en una matriz $A$ intercambia todos los elementos de la fila $i$ con sus contrapartes en una fila $j$ diferente . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila $i$ y la fila $j$ de la matriz identidad .

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Entonces $T$ i $,j$ $A$ es la matriz producida al intercambiar la fila $i$ y la fila $j$ de $A.$

En cuanto a los coeficientes, la matriz $T i,j$ se define por :

[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}

Propiedades

La inversa de esta matriz es ella misma: $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.$
Dado que el determinante de la matriz identidad es la unidad, $\det(T_{i,j})=-1.$ De ello se deduce que para cualquier matriz cuadrada $A$ (del tamaño correcto), tenemos $\det(T_{i,j}A)=-\det(A).$
Para consideraciones teóricas, la transformación de intercambio de filas se puede obtener a partir de las transformaciones de adición y multiplicación de filas introducidas a continuación porque $T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).$

Transformaciones de multiplicación de filas

El siguiente tipo de operación de fila en una matriz $A$ multiplica todos los elementos de la fila $i$ por $m$ , donde $m es un$ escalar distinto de cero (generalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la $i-$ ésima posición, donde es $m$ .

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Entonces $D i (m) A$ es la matriz producida a partir de $A$ multiplicando la fila $i$ por $m$ .

En cuanto a los coeficientes, la matriz $D i (m)$ se define por :

[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}

Propiedades

La inversa de esta matriz viene dada por $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
La matriz y su inversa son matrices diagonales .
$\det(D_{i}(m))=m.$ Por lo tanto, para una matriz cuadrada $A$ (del tamaño correcto), tenemos $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

transformaciones de adición de filas

El último tipo de operación de fila en una matriz $A$ suma la fila $j$ multiplicada por un escalar $m$ a la fila $i$ . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad, pero con un $m$ en la posición $(i, j)$ .

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

Entonces $L ij (m) A$ es la matriz producida a partir de $A$ al sumar $m$ veces la fila $j$ a la fila $i$ . Y $AL ij (m)$ es la matriz producida a partir de $A$ al sumar $m$ veces la columna $i$ a la columna $j$ .

En cuanto a los coeficientes, la matriz $L i,j (m)$ se define por :

[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}

Propiedades

Estas transformaciones son una especie de mapeo de cizallamiento , también conocido como transvección .
La inversa de esta matriz viene dada por $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
La matriz y su inversa son matrices triangulares .
$\det(L_{ij}(m))=1.$ Por lo tanto, para una matriz cuadrada $A$ (del tamaño correcto) tenemos $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
Las transformaciones de adición de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .

Véase también

Referencias

↑ Perrone (2024) , págs. 119-120

Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8Archivado del original el 31 de octubre de 2009.
Perrone, Paolo (2024), Starting Category Theory , World Scientific, doi : 10.1142/9789811286018_0005 , ISBN 978-981-12-8600-1
Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9.ª ed.), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª ed.), Pearson Prentice Hall
Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.ª ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6

[1] Perrone (2024) , págs. 119-120

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