Análisis de componentes principales robusto

El algoritmo garantizado de 2014 para el problema PCA robusto (con la matriz de entrada siendo${\displaystyle M=L+S}$) es un algoritmo de minimización alternada. ^{[ 12 ]} La complejidad computacional es${\displaystyle O\left(mnr^{2}\log {\frac {1}{\epsilon }}\right)}$donde la entrada es la superposición de un rango bajo (de rango${\displaystyle r}$) y una matriz dispersa de dimensión${\displaystyle m\times n}$y${\displaystyle \epsilon }$es la precisión deseada de la solución recuperada, es decir,${\displaystyle \|{\widehat {L}}-L\|_{F}\leq \epsilon }$dónde${\displaystyle L}$es el verdadero componente de bajo rango y${\displaystyle {\widehat {L}}}$es el componente de bajo rango estimado o recuperado. Intuitivamente, este algoritmo realiza proyecciones del residuo sobre el conjunto de matrices de bajo rango (a través de la operación SVD ) y matrices dispersas (a través de umbralización dura por entrada) de manera alternada, es decir, proyección de bajo rango de la diferencia entre la matriz de entrada y la matriz dispersa obtenida en una iteración dada, seguida de proyección dispersa de la diferencia entre la matriz de entrada y la matriz de bajo rango obtenida en el paso anterior, e iterando los dos pasos hasta la convergencia .

Este algoritmo de proyecciones alternas se mejora posteriormente mediante una versión acelerada, denominada AccAltProj. ^{[ 13 ]} La aceleración se logra aplicando una proyección en el espacio tangente antes de proyectar el residuo sobre el conjunto de matrices de bajo rango. Este truco mejora la complejidad computacional a${\displaystyle O\left(mnr\log {\frac {1}{\epsilon }}\right)}$con una constante mucho menor delante, manteniendo al mismo tiempo la convergencia lineal teóricamente garantizada.

Otra versión rápida del algoritmo de proyecciones alternas acelerado es IRCUR. ^{[ 14 ]} Utiliza la estructura de descomposición CUR en el marco de proyecciones alternas para reducir drásticamente la complejidad computacional de RPCA a${\displaystyle O\left(\max\{m,n\}r^{2}\log(m)\log(n)\log {\frac {1}{\epsilon }}\right)}$

Este método consiste en relajar la restricción de rango.${\displaystyle rank(L)}$en el problema de optimización a la norma nuclear${\displaystyle \|L\|_{*}}$y la restricción de escasez${\displaystyle \|S\|_{0}}$a${\displaystyle \ell _{1}}$-norma${\displaystyle \|S\|_{1}}$El programa resultante se puede resolver utilizando métodos como el método de los multiplicadores de Lagrange aumentados.

Algunos trabajos recientes proponen algoritmos RPCA con parámetros entrenables/de aprendizaje. ^{[ 15 ]} Dicho algoritmo entrenable/de aprendizaje puede desplegarse como una red neuronal profunda cuyos parámetros pueden aprenderse mediante técnicas de aprendizaje automático a partir de un conjunto de datos o distribución de problemas dados. El algoritmo aprendido tendrá un rendimiento superior en la distribución de problemas correspondiente.

Dada una secuencia de fotogramas de vídeo de vigilancia , a menudo es necesario identificar las actividades que destacan del fondo. Si apilamos los fotogramas de vídeo como columnas de una matriz M, entonces el componente de bajo rango L ₀ corresponde naturalmente al fondo estacionario y el componente disperso S ₀ captura los objetos en movimiento en primer plano. ^{[ 1 ] [ 16 ]}

Las imágenes de una superficie convexa lambertiana bajo diferentes iluminaciones abarcan un subespacio de baja dimensión. ^{[ 17 ]} Esta es una de las razones de la eficacia de los modelos de baja dimensión para datos de imágenes. En particular, es fácil aproximar imágenes del rostro de una persona mediante un subespacio de baja dimensión. Poder recuperar correctamente este subespacio es crucial en muchas aplicaciones, como el reconocimiento y la alineación facial . Resulta que RPCA se puede aplicar con éxito a este problema para recuperar el rostro con exactitud. ^{[ 1 ]}

• T. Bouwmans, N. Aybat y E. Zahzah. Manual sobre descomposición robusta de matrices dispersas y de bajo rango: aplicaciones en el procesamiento de imágenes y vídeo , CRC Press , Taylor and Francis Group, mayo de 2016. (Más información: http://www.crcpress.com/product/isbn/9781498724623 )
• Z. Lin, H. Zhang, "Modelos de bajo rango en análisis visual: teorías, algoritmos y aplicaciones", Academic Press, Elsevier, junio de 2017. (más información: https://www.elsevier.com/books/low-rank-models-in-visual-analysis/lin/978-0-12-812731-5 )

• N. Vaswani , Y. Chi, T. Bouwmans, Número especial sobre “ Repensando el PCA para conjuntos de datos modernos: teoría, algoritmos y aplicaciones ”, Actas del IEEE , 2018.
• T. Bouwmans, N. Vaswani , P. Rodriguez, R. Vidal, Z. Lin, Número especial sobre “ Aprendizaje y seguimiento robusto de subespacios: teoría, algoritmos y aplicaciones ”, IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, diciembre de 2018.

• RSL-CV 2015: Taller sobre aprendizaje robusto de subespacios y visión por computadora en conjunto con ICCV 2015 (Para más información: http://rsl-cv2015.univ-lr.fr/workshop/ )
• RSL-CV 2017: Taller sobre aprendizaje robusto de subespacios y visión por computadora en conjunto con ICCV 2017 (Para más información: http://rsl-cv.univ-lr.fr/2017/ )
• RSL-CV 2021: Taller sobre aprendizaje robusto de subespacios y visión por computadora en conjunto con ICCV 2021 (Para más información: https://rsl-cv.univ-lr.fr/2021/ )

• Sesión especial sobre "Algoritmos en línea para PCA robusto estático y dinámico y detección compresiva" en conjunto con SSP 2018. (Más información: https://ssp2018.org/ )

• Sitio web de sustracción de fondo
• Sitio web de DLAM
• Documentación de la Universidad de Illinois - Enlace al archivo

La biblioteca LRS (desarrollada por Andrews Sobral ) ofrece una colección de algoritmos de descomposición de bajo rango y dispersa en MATLAB. Si bien fue diseñada para la detección de objetos en movimiento en videos, también puede utilizarse para otras tareas de visión artificial y aprendizaje automático. Actualmente, la biblioteca LRS ofrece más de 100 algoritmos basados ​​en métodos matriciales y tensoriales .