Diseño de parámetros robustos

Un diseño de parámetros robusto , introducido por Genichi Taguchi , es un diseño experimental utilizado para explotar la interacción entre el control y las variables de ruido incontrolables mediante robustificación : encontrar los ajustes de los factores de control que minimicen la variación de la respuesta de los factores incontrolables. ^[1] Las variables de control son variables de las que el experimentador tiene control total. Las variables de ruido se encuentran en el otro lado del espectro. Si bien estas variables pueden controlarse fácilmente en un entorno experimental, fuera del mundo experimental son muy difíciles, si no imposibles, de controlar. Los diseños de parámetros robustos utilizan una convención de nomenclatura similar a la de los FFD. Un 2 ^{(m1 + m2) - (p1 - p2)} es un diseño de 2 niveles donde m1 es el número de factores de control, m2 es el número de factores de ruido, p1 es el nivel de fraccionamiento para los factores de control y p2 es el nivel de fraccionamiento para los factores de ruido.

Consideremos un ejemplo de horneado de tortas con RPD de Montgomery (2005), donde un experimentador quiere mejorar la calidad de la torta. ^[2] Si bien el fabricante de tortas puede controlar la cantidad de harina, la cantidad de azúcar, la cantidad de polvo para hornear y el contenido de colorante de la torta, otros factores son incontrolables, como la temperatura del horno y el tiempo de horneado. El fabricante puede imprimir instrucciones para un tiempo de horneado de 20 minutos, pero en el mundo real no tiene control sobre los hábitos de horneado del consumidor. Las variaciones en la calidad de la torta pueden surgir al hornear a 325° en lugar de 350° o al dejar la torta en el horno durante un período de tiempo ligeramente demasiado corto o demasiado largo. Los diseños de parámetros robustos buscan minimizar los efectos de los factores de ruido en la calidad. Para este ejemplo, el fabricante espera minimizar los efectos de la fluctuación del tiempo de horneado en la calidad de la torta, y para hacer esto se requieren los ajustes óptimos para los factores de control.

Los RPD se utilizan principalmente en un entorno de simulación donde las variables de ruido incontrolables generalmente se controlan fácilmente. Mientras que en el mundo real, los factores de ruido son difíciles de controlar, en un entorno experimental, el control sobre estos factores se mantiene fácilmente. Para el ejemplo de la preparación de un pastel, el experimentador puede fluctuar el tiempo de cocción y la temperatura del horno para comprender los efectos de dicha fluctuación que puede ocurrir cuando el control ya no está en sus manos.

Los diseños de parámetros robustos son muy similares a los diseños factoriales fraccionados (FFD) en el sentido de que el diseño óptimo se puede encontrar utilizando matrices de Hadamard , se mantienen los principios de jerarquía de efectos y escasez de factores, y el aliasing está presente cuando se fraccionan los RPD completos. Al igual que los FFD, los RPD son diseños de detección y pueden proporcionar un modelo lineal del sistema en cuestión. Lo que se entiende por jerarquía de efectos para los FFD es que las interacciones de orden superior tienden a tener un efecto insignificante en la respuesta. ^[3] Como se indica en Carraway, es más probable que los efectos principales tengan un efecto en la respuesta, luego las interacciones de dos factores, luego las interacciones de tres factores, y así sucesivamente. ^[4] El concepto de escasez de efectos es que no todos los factores tendrán un efecto en la respuesta. Estos principios son la base para fraccionar las matrices de Hadamard. Al fraccionar, los experimentadores pueden sacar conclusiones en menos ejecuciones y con menos recursos. A menudo, los RPD se utilizan en las primeras etapas de un experimento. Dado que los RPD de dos niveles suponen linealidad entre los efectos de los factores, se pueden utilizar otros métodos para modelar la curvatura después de que se haya reducido el número de factores.

Las matrices de Hadamard son matrices cuadradas que constan únicamente de + y −. Si se normaliza y fracciona una matriz de Hadamard, se obtiene un patrón de diseño. Sin embargo, no todos los diseños son iguales, lo que significa que algunos diseños son mejores que otros y se utilizan criterios de diseño específicos para determinar cuál es el mejor diseño. Después de obtener un patrón de diseño, los experimentadores generalmente saben en qué configuración se debe establecer cada factor. Cada fila, en el patrón, indica una ejecución y cada columna indica un factor. Para el patrón de diseño parcial que se muestra a la izquierda, el experimentador ha identificado siete factores que pueden tener un efecto en la respuesta y espera obtener información sobre qué factores tienen un efecto en ocho ejecuciones. En la primera ejecución, los factores 1, 4, 5 y 6 se establecen en niveles altos, mientras que los factores 2, 3 y 7 se establecen en niveles bajos. Los niveles bajos y altos son configuraciones que normalmente define el experto en la materia. Estos valores son extremos, pero no tan extremos como para que la respuesta se vea empujada hacia regiones no uniformes. Después de cada ejecución, se obtienen los resultados; Además, al hacer fluctuar múltiples factores en ejecuciones individuales en lugar de utilizar el método OFAT , se pueden estimar las interacciones entre las variables, así como los efectos de cada factor. Si dos factores interactúan, el efecto que tiene un factor sobre la respuesta es diferente según la configuración de otro factor.

El fraccionamiento adecuado de matrices de Hadamard requiere mucho tiempo. Consideremos un diseño de 24 ejecuciones que admita seis factores. El número de diseños de Hadamard de cada matriz de Hadamard es 23 (elija 6); es decir, 100 947 diseños de cada matriz de Hadamard de 24 × 24. Como hay 60 matrices de Hadamard de ese tamaño, el número total de diseños a comparar es 6 056 820. Leoppky, Bingham y Sitter (2006) utilizaron una metodología de búsqueda completa y han enumerado los mejores RPD para 12, 16 y 20 ejecuciones. Debido a que el trabajo de búsqueda completa es tan exhaustivo, los mejores diseños para tamaños de ejecución más grandes a menudo no están disponibles. En ese caso, se pueden utilizar otros métodos estadísticos para fraccionar una matriz de Hadamard de tal manera que permita solo una cantidad tolerable de alias. Se han producido algoritmos eficientes como la selección hacia adelante y la eliminación hacia atrás para FFD, pero debido a la complejidad del aliasing introducido al distinguir las variables de control y ruido, estos métodos aún no han demostrado ser efectivos para RPD. ^{[5] [6] [7]}

Para comprender completamente los criterios de diseño, es necesario conocer la historia y los diseños factoriales fraccionados. Los diseños factoriales fraccionados buscan comprender qué factores tienen un efecto sobre una respuesta y optimizar la respuesta mediante la búsqueda de los ajustes de factores adecuados. A diferencia de los diseños factoriales fraccionados, los diseños factoriales fraccionados no distinguen entre variables de control y de ruido.

En 2003, Bingham y Sitter ^[8] definieron la resolución máxima y la aberración mínima para los diseños factoriales fraccionales de dos niveles. La resolución determina la peor cantidad de aliasing presente, y la aberración determina cuánto de ese aliasing del peor caso está presente en el diseño. La resolución III diseña efectos principales de alias con interacciones de dos factores. La resolución IV diseña efectos principales de alias con interacciones de tres factores. La resolución V diseña efectos principales de alias con interacciones de cuatro factores. A medida que aumenta la resolución, el nivel de aliasing se vuelve menos grave porque las interacciones de orden superior tienden a tener efectos insignificantes en la respuesta. La resolución mide diseños regulares; es decir, los efectos están totalmente aliasizados o no están aliasizados en absoluto. Considere la siguiente afirmación: "El factor A está aliasizado con la interacción de dos factores de los factores BC". Esto significa que si la interacción de dos factores BC tiene un efecto en la respuesta, entonces la estimación del efecto del factor A en la respuesta está contaminada porque el efecto del factor A no se puede distinguir del efecto de BC. Claramente, se prefiere un diseño de resolución V sobre un diseño de resolución IV.

Los diseños de la misma resolución no siempre son iguales, y el conocimiento de qué tipo de aliasing es el peor involucrado no es suficiente para saber qué diseño es mejor. En lugar de eso, se necesita una investigación más profunda de cuánto del aliasing del peor caso. Esta idea se conoce como aberración mínima. Los mejores diseños contienen la menor cantidad del aliasing del peor caso. Si los diseños D1 y D2 son ambos diseños de resolución V, pero D1 tiene más instancias de efectos principales aliasados ​​con interacciones de 4 factores, entonces D2 es el mejor diseño. D2 es el mejor diseño porque hay una mayor cantidad de efectos bien estimados.

Fontana, Pistone y Rogantin ^[9] habían creado una función indicadora para diseños factoriales fraccionarios de dos niveles, y en 2003 Ye amplió la función indicadora para diseños regulares y no regulares. ^[10] Al hacer esto, Ye estableció la resolución generalizada y la aberración mínima generalizada. Mientras que los diseños regulares son diseños con un tamaño de ejecución igual a una potencia de dos, los diseños no regulares pueden ser cualquier múltiplo de cuatro. En los diseños no regulares, los efectos pueden tener alias completo, alias parcial o no tener alias en absoluto. La aberración mínima generalizada y la resolución generalizada tienen en cuenta este alias parcial.

Formalmente, Ye (2003) distingue entre diseños regulares y no regulares y afirma que cualquier función polinómica puede escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\sum _{J\in P}b_{J}X_{J}(x)\\&=\sum _{J\in PC}\sum _{K\in PN}b_{J\cup K}X_{J\cup K}(x)\end{aligned}}}$Dónde:

${\displaystyle b_{L}={\frac {1}{2^{m}}}\sum _{x\in F}X_{L}(x);\quad b_{0}={\frac {n}{2^{m}}}}$

Si entonces el diseño es regular, de lo contrario existe aliasing parcial. ${\displaystyle \left|{\frac {b_{J\cup K}}{b_{0}}}\right|=1}$

Mientras Ye desarrollaba esta función indicadora, Bingham y Sitter estaban trabajando en la clarificación de la resolución y la aberración para diseños de parámetros robustos. En 2006, Leoppky, Bingham y Sitter publicaron el patrón de longitud de palabra extendida y la función indicadora para diseños de parámetros robustos. Debido a que los RPD se preocupan por minimizar la variación del proceso debido a factores de ruido, la prioridad de los efectos cambia de la jerarquía de efectos de los FFD. Los efectos principales siguen siendo la primera prioridad, y las interacciones de dos factores siguen siendo la segunda prioridad; pero si alguna interacción tiene una interacción de control por ruido (CN), entonces esa interacción aumenta en 0,5 en la escala de prioridad. Por ejemplo, una interacción de tres factores CCN sería una prioridad 3 en un FFD porque las interacciones de tres factores son la tercera prioridad, las interacciones de dos factores son la segunda prioridad y los efectos principales son la primera prioridad. Sin embargo, dado que los RPD se preocupan por las variables de ruido, la interacción CCN es un efecto de prioridad 2,5. La interacción CN aumenta la prioridad en 0,5; De modo que la prioridad tradicional 3 menos el 0,5 para la interacción CN da como resultado una prioridad 2,5. Se puede encontrar una tabla completa de prioridades en Leoppky, Bingham y Sitter (2006). ^[11]

Una investigación más profunda de los principios introducidos proporcionará una comprensión más profunda de la comparación de diseños. ^{[ cita requerida ]}

En el caso de los diseños factoriales fraccionarios regulares, la longitud de la palabra determinará qué tipos de alias están presentes. Por ejemplo, la palabra "2367" se puede dividir en estructuras de alias de la siguiente manera:

La palabra 2367 tiene una longitud de 4, y el peor caso de alias es que los efectos principales se aliasen con interacciones de tres factores, y las interacciones de dos factores se aliasen con otras interacciones de dos factores.

Las longitudes de las palabras se vuelven menos simplistas cuando se habla de RPD porque la prioridad de los efectos ha cambiado. Considere la palabra 23578 donde los factores 2, 3 y 5 son variables de control y los factores 7 y 8 son variables de ruido. Las siguientes cadenas de alias se pueden derivar de esta palabra:

2=3578, 3=2578 5=2378 o C=CCNN
7=2358, 8=2357 o N=CCCN
23=578, 25=378, 35=278 o CC=CNN
27=358 y 28=357 o CN=CCN
235=78 o CCC=NN

Ahora que se pueden ver los tipos de aliasing que se producen, se debe utilizar la prioridad de efectos de Leoppky, Bingham y Sitter para determinar la peor cantidad de aliasing presente. Esto significa que cualquier interacción de CN aumenta esa prioridad en 0,5; y la longitud de la palabra se obtiene sumando cada lado de la cadena de aliasing. La siguiente tabla muestra las sumas para cada tipo de aliasing que se encuentra en la palabra 23578.

Dado que las sumas más bajas indican un alias peor, esta palabra tiene el alias del peor caso de longitud 4. Es importante entender ^{[ cita requerida ]} que en un FFD no se tendría en cuenta la diferenciación entre control y ruido, y esta palabra tendría una longitud de 5; pero los RPD se ocupan de esta distinción y, aunque la palabra parece tener una longitud de 5, los criterios de diseño determinan la prioridad 4. Ahora, supongamos que el diseño D1 contiene solo la palabra que se acaba de analizar (23578). Si se comparara D1 con D2, y el alias del peor caso encontrado en D2 fuera de prioridad 3,5, entonces D1 sería el mejor diseño. Sin embargo, si el alias del peor caso de D2 fuera de prioridad 4, entonces se debe tener en cuenta la aberración mínima. Para cada diseño, calcularíamos las frecuencias de cada tipo de alias del peor caso. El mejor diseño se elegiría como el diseño que minimiza la aparición del alias del peor caso. Estas frecuencias se pueden organizar utilizando el patrón de longitud de palabra extendida (EWLP).

La noción de aberración mínima puede entenderse a partir de la definición proporcionada en Leoppky, Bingham y Sitter (2006):

Para dos diseños de parámetros robustos factoriales fraccionales cualesquiera 2 ^{(m1+m2 )-(p1+p2)} , D1 y D2, decimos que D1 tiene menos aberración que D2 si existe un r tal que B _i (D1) = B _i (D2) para todo i < r – 1 y B _r (D1) < B _r (D2) . Si ningún otro diseño tiene menos aberración que D1, entonces D1 es el diseño de parámetros robustos factoriales fraccionales con aberración mínima.

Leoppky, Bingham y Sitter (2006) también proporcionan la función indicadora RPD como:

Para un diseño dado, D, y una corrida, x∈D , defina un contraste X _L(x) = Π _l∈L x _l en D, donde L ∈ P y P es el conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, ..., m} . Además, defina P _C como el conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, ..., m} y P _N como el conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, ..., m} , donde un elemento de P tiene la forma L ≡ J ∪ K donde J ∈ P _C y K ∈ P _N .

Bingham y Sitter (2006) generan el EWLP proporcionando el siguiente concepto:

Sea F un diseño de parámetros robusto con función indicadora F(x)= Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x) , si b _J∪K ≠ 0 , entonces X _J∪K es una palabra del diseño F con longitud de palabra r + (1- |b _J∪K ⁄ b ₀ |) / 2 , donde |b _J∪K ⁄ b ₀ | es una medida del grado de confusión para la palabra X _J∪K . Además, sea g _{r+l / 2t} el número de palabras de longitud (r+l / 2t) , donde r = 2,0, 2,5, 3,0, ... de acuerdo con la Tabla 2.1. Por lo tanto, el patrón de longitud de palabra extendida del diseño de parámetros robustos es (g _2.0 ,...,g _{2.0+((t-1)) ⁄ 2t} ,...,g _m-1 ,...,g _{m+(t-1) ⁄ 2t} ) .

Considere los diseños D1 y D2 con los siguientes EWLP:

D1: [(0 0 3)(2 3 1)(2 5 5)]

D2: [(0 0 3)(2 4 0)(2 4 6)]

Se puede leer un EWLP de izquierda a derecha, ya que el lado izquierdo indica el nivel más grave de aliasing y el aliasing se vuelve menos grave a medida que nos desplazamos hacia la derecha. D2 es el mejor diseño porque hay una ocurrencia más de aliasing más grave que en D1.

El diseño de experimentos (DOE) es una parte fundamental de la experimentación, el modelado y la simulación. ^{[ cita requerida ]} Banks ^[12] afirma: "El diseño experimental se ocupa de reducir el tiempo y el esfuerzo asociados con la simulación mediante la identificación de la información que se necesita recopilar de cada réplica de simulación, cuántas réplicas se deben realizar y qué cambios de parámetros del modelo se deben comparar". Una vez que se ha implementado un modelo conceptual como modelo programado, el DOE es necesario para realizar la experimentación y obtener resultados de simulación de la manera más oportuna y rentable. Los siguientes ejemplos demuestran situaciones en las que se pueden utilizar los RPD para extraer conclusiones significativas.

Considere el ejemplo de fabricación de marcadores permanentes adaptado de Brewer, Carraway e Ingram (2010). Los expertos en la materia (SME) han reconocido siete factores que pueden afectar la calidad del marcador: cantidad de tinta, contenido de propanol , contenido de butanol , contenido de diacetona, calidad del envase, humedad y temperatura . La cantidad de tinta, el contenido de propanol, el contenido de butanol, el contenido de diacetona y la calidad del envase son determinados por el fabricante; la humedad y la temperatura, aunque se controlan fácilmente en un entorno experimental, no se pueden controlar una vez que el producto ha salido de las manos del fabricante. Incluso si el fabricante afirma mantener la temperatura del marcador entre 35 y 80 grados Fahrenheit , los consumidores pueden estar en un clima de 90 grados o no prestar atención al consejo. Esta variación es incontrolable y afecta la opinión de los consumidores sobre el producto; por lo tanto, el fabricante quiere que el producto sea resistente a las variaciones debidas a la temperatura.

Para ejecutar cada combinación posible de factores se necesitarían 128 ejecuciones. Sin embargo, al fraccionar esta matriz, los efectos de los factores se pueden ver en muchas menos ejecuciones. Por lo tanto, el fraccionado es menos costoso y requiere menos tiempo.

Una vez creado el RPD, se prueba la calidad del marcador permanente al final de cada tirada. Este es un ejemplo de simulación en vivo porque para probar la calidad del marcador es necesario simular la humedad y la temperatura del mundo real. La empresa que fabrica el marcador permanente opta por simular temperaturas y humedad altas o bajas en lugar de viajar a lugares específicos donde se puede utilizar el marcador. El fabricante ahorra tiempo y dinero y obtiene un efecto similar al que obtendría alguien que utilizara el marcador en condiciones climáticas extremas o en cualquier otro lugar.

Imagínese que lo contratan como gerente de una tienda y desea aumentar la eficiencia de su personal. Ha notado que la misma cantidad de personas trabaja a todas horas del día, pero la tienda está más concurrida desde el mediodía hasta las 3:30 p. m. y vacía después de las 7:00 p. m. No quiere correr el riesgo de quedarse sin personal, por lo que decide simular diferentes escenarios para determinar la mejor solución de programación. Los factores de control que afectan la optimización de la programación pueden incluir la cantidad de personas en un turno, mientras que los factores incontrolables pueden incluir el clima y el flujo de tráfico.

Se implementa un modelo constructivo para comprender el dilema en cuestión y un RPD es el método utilizado para determinar los ajustes de los factores de control que necesitamos para minimizar los efectos de los factores de ruido. En otras palabras, se puede utilizar un RPD para determinar cuántas personas se necesitan en cada turno para que la tienda no tenga falta o exceso de personal independientemente de las condiciones climáticas o el flujo de tráfico.

Debido a que los RPD se relacionan tan estrechamente con los FFD, se pueden aplicar los mismos métodos de análisis. Se puede utilizar ANOVA para determinar qué factores son significativos. Se pueden ejecutar puntos centrales para determinar si hay curvatura. Muchos paquetes de software estadístico tienen diseños de gráficos divididos almacenados y listos para el análisis. Los RPD son diseños de detección y se utilizan a menudo para reducir la cantidad de factores que se cree que tienen un efecto en la respuesta.

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