Transformación rígida

En matemáticas , una transformación rígida (también llamada transformación euclidiana o isometría euclidiana ) es una transformación geométrica de un espacio euclidiano que conserva la distancia euclidiana entre cada par de puntos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Las transformaciones rígidas incluyen rotaciones , traslaciones , reflexiones o cualquier secuencia de estas. En ocasiones, las reflexiones se excluyen de la definición de transformación rígida al exigir que la transformación también conserve la quiralidad de los objetos en el espacio euclidiano. (Una reflexión no conservaría la quiralidad; por ejemplo, transformaría una mano izquierda en una derecha). Para evitar ambigüedades, una transformación que conserva la quiralidad se conoce como movimiento rígido , movimiento euclidiano o transformación rígida propia .

En la segunda dimensión, un movimiento rígido es una traslación o una rotación . En la tercera dimensión, todo movimiento rígido puede descomponerse como la composición de una rotación y una traslación, por lo que a veces se le denomina rototraslación . En la tercera dimensión, todos los movimientos rígidos son también movimientos helicoidales (este es el teorema de Chasles ).

En dimensión como máximo tres, cualquier transformación rígida impropia puede descomponerse en una rotación impropia seguida de una traslación, o en una secuencia de reflexiones .

Cualquier objeto conservará la misma forma y tamaño después de una transformación rígida adecuada.

Todas las transformaciones rígidas son ejemplos de transformaciones afines . El conjunto de todas las transformaciones rígidas (propias e impropias) es un grupo matemático llamado grupo euclidiano , denotado E( n ) para espacios euclidianos n- dimensionales. El conjunto de movimientos rígidos se denomina grupo euclidiano especial y se denota SE( n ) .

En cinemática , los movimientos rígidos en un espacio euclidiano tridimensional se utilizan para representar los desplazamientos de cuerpos rígidos . Según el teorema de Chasles , toda transformación rígida puede expresarse como un movimiento helicoidal .

Una transformación rígida se define formalmente como una transformación que, al actuar sobre cualquier vector v , produce un vector transformado T ( v ) de la forma

donde R ^T = R ⁻¹ (es decir, R es una transformación ortogonal ), y t es un vector que da la traslación del origen.

Una transformación rígida adecuada tiene, además,

Esto significa que R no produce una reflexión y, por lo tanto, representa una rotación (una transformación ortogonal que conserva la orientación). De hecho, cuando una matriz de transformación ortogonal produce una reflexión, su determinante es −1.

Se necesita una medida de distancia entre puntos, o métrica , para confirmar que una transformación es rígida. La fórmula de la distancia euclidiana para R ⁿ es la generalización del teorema de Pitágoras . La fórmula da la distancia al cuadrado entre dos puntos X e Y como la suma de los cuadrados de las distancias a lo largo de los ejes de coordenadas, es decir $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$ donde X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) e Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n ) , y el punto denota el producto escalar .

Utilizando esta fórmula de distancia, una transformación rígida g  : R ⁿ → R ⁿ tiene la propiedad, $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

Una traslación de un espacio vectorial agrega un vector d a cada vector en el espacio, lo que significa que es la transformación

Es fácil demostrar que se trata de una transformación rígida mostrando que la distancia entre los vectores trasladados es igual a la distancia entre los vectores originales: $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

Una transformación lineal de un espacio vectorial, L  : R ⁿ → R ⁿ , preserva las combinaciones lineales , $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$ Una transformación lineal L puede representarse mediante una matriz, lo que significa

donde [ L ] es una matriz n × n .

Una transformación lineal es una transformación rígida si satisface la condición, $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$ eso es $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$ Ahora, utilizando el hecho de que el producto escalar de dos vectores v . w se puede escribir como la operación matricial v ^T w , donde T denota la transpuesta de la matriz, tenemos: $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$$ Por lo tanto, la transformación lineal L es rígida si su matriz satisface la condición $${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$ donde [ I ] es la matriz identidad. Las matrices que satisfacen esta condición se denominan matrices ortogonales. Esta condición exige que las columnas de estas matrices sean vectores unitarios ortogonales.

Las matrices que satisfacen esta condición forman un grupo matemático bajo la operación de multiplicación de matrices llamado grupo ortogonal de matrices n×n y denotado O ( n ) .

Calcula el determinante de la condición para que una matriz ortogonal obtenga $${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$ Esto demuestra que la matriz [ L ] puede tener un determinante de +1 o −1. Las matrices ortogonales con determinante −1 son reflexiones, y aquellas con determinante +1 son rotaciones. Nótese que el conjunto de matrices ortogonales puede considerarse como dos variedades en R ^{n × n} separadas por el conjunto de matrices singulares.

El conjunto de matrices de rotación se denomina grupo ortogonal especial y se denota SO( n ) . Es un ejemplo de grupo de Lie porque tiene la estructura de una variedad.

• Deformación (mecánica)
• Movimiento (geometría)
• dinámica de cuerpos rígidos