Teorema de la media geométrica

$Área del$ cuadrado gris = área del rectángulo gris $:$ $h² = pq ⟺ h = \sqrtpq$

En geometría euclidiana , el teorema de la altura del triángulo rectángulo, o teorema de la media geométrica, establece una relación entre la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los dos segmentos de recta que forma sobre ella. Dicho teorema afirma que la media geométrica de estos dos segmentos es igual a la altura.

Teorema y su recíproco

Si $h$ denota la altura en un triángulo rectángulo y $p$ y $q$ los segmentos de la hipotenusa, entonces el teorema se puede enunciar como: ^{[ 1 ]} $h={\sqrt {pq}}$ o en términos de áreas: $h^{2}=pq.$ La afirmación recíproca también es cierta. Cualquier triángulo cuya altura sea igual a la media geométrica de los dos segmentos de recta que forma es un triángulo rectángulo.

El teorema también puede considerarse un caso especial del teorema de las cuerdas secantes para un círculo, ya que el recíproco del teorema de Tales garantiza que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia circunscrita . ^{[ 1 ]}

Aplicaciones

La formulación en términos de áreas proporciona un método para cuadrar un rectángulo con regla y compás , es decir, construir un cuadrado de igual área a un rectángulo dado. Para un rectángulo de lados $p$ y $q,$ denotamos su vértice superior izquierdo con $D.$ Ahora extendemos el segmento $q$ hacia su izquierda en $p$ (usando el arco $AE$ centrado en $D$ ) y dibujamos un semicírculo con extremos $A$ y $B,$ con el nuevo segmento $p + q$ como su diámetro. Luego trazamos una línea perpendicular al diámetro en $D$ que interseca el semicírculo en $C.$ Debido al teorema de Tales, $C$ y el diámetro forman un triángulo rectángulo con el segmento $DC$ como su altura; por lo tanto, $DC$ es el lado de un cuadrado con el área del rectángulo. El método también permite la construcción de raíces cuadradas (véase número construible ), ya que, partiendo de un rectángulo con un ancho de 1, el cuadrado construido tendrá un lado de longitud igual a la raíz cuadrada de la longitud del rectángulo. ^{[ 1 ]}

Otra aplicación de este teorema proporciona una demostración geométrica de la desigualdad AM-GM en el caso de dos números, ya que el radio del semicírculo es la media aritmética de $p$ y $q$ . Este radio se puede trazar paralelo a la media geométrica construida como se indicó anteriormente, lo que muestra que la media geométrica siempre es menor o igual que el radio, y da como resultado la desigualdad. ^{[ 2 ]}

Historia

El teorema se atribuye generalmente a Euclides (ca. 360-280 a. C.), quien lo enunció como corolario de la proposición 8 en el libro VI de sus Elementos . En la proposición 14 del libro II, Euclides proporciona un método para cuadrar un rectángulo, que coincide esencialmente con el método aquí presentado. Sin embargo, Euclides ofrece una demostración diferente, ligeramente más compleja, de la corrección de la construcción, en lugar de basarse en el teorema de la media geométrica. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

Pruebas

Prueba basada en la similitud

Demostración del teorema

Los triángulos $△ ADC y △ BCD$ son semejantes , ya que:

Consideremos los triángulos $△ ABC, △ ACD$ ; aquí tenemos $\angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;$ por lo tanto por el postulado AA $\triangle ABC\sim \triangle ACD.$
Además, consideremos los triángulos $△ ABC, △ BCD$ ; aquí tenemos $\angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;$ por lo tanto por el postulado AA $\triangle ABC\sim \triangle BCD.$

Por lo tanto, ambos triángulos $△ ACD, △ BCD$ son similares a $△ ABC$ y a sí mismos, es decir $\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.$

Debido a la similitud obtenemos la siguiente igualdad de razones y su reordenamiento algebraico produce el teorema: ^{[ 1 ]} ${\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\iff \,h^{2}=pq\,\iff \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)$

Prueba de la recíproca

Para la inversa tenemos un triángulo $△ ABC$ en el que se cumple $h 2 = pq$ y necesitamos demostrar que el ángulo en $C$ es un ángulo recto. Ahora, debido a que $h 2 = pq$ también tenemos ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.$ Junto con $\angle ADC=\angle CDB$ Los triángulos $△ ADC y △ BDC$ tienen un ángulo de igual magnitud y pares de catetos correspondientes con la misma proporción. Esto significa que los triángulos son semejantes, lo que resulta en: ${\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}$

Demostración basada en el teorema de Pitágoras.

En el contexto del teorema de la media geométrica, existen tres triángulos rectángulos $△ ABC$ , $△ ADC$ y $△ DBC$ en los que el teorema de Pitágoras arroja: ${\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}$ Sumando las dos primeras ecuaciones y luego usando la tercera se obtiene: ${\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq,\end{aligned}}$ lo que finalmente da como resultado la fórmula del teorema de la media geométrica. ^{[ 4 ]}

Prueba basada en disección y reordenamiento

Al dividir el triángulo rectángulo por su altura $h,$ se obtienen dos triángulos semejantes, que pueden ampliarse y organizarse de dos maneras diferentes para formar un triángulo rectángulo mayor con lados perpendiculares de longitudes $p + h$ y $q + h$ . Una de estas disposiciones requiere un cuadrado de área $h²$ para completarlo, la otra un rectángulo de área $pq$ $.$ Dado que ambas disposiciones dan como resultado el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

Demostración basada en mapeos de cizallamiento

Un cuadrado construido sobre una altura se puede transformar en un rectángulo de igual área con lados $p$ y $q$ con la ayuda de tres transformaciones de corte (las transformaciones de corte conservan el área):

Referencias

^ Hartmut Wellstein , Peter Kirsche : Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561, págs. 76-77 (alemán, copia en línea , pág. 76, en Google Books )
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Iconos de las matemáticas: Una exploración de veinte imágenes clave . MAA 2011, ISBN 9780883853528, págs. 31–32 ( copia en línea , pág. 31, en Google Books )
↑ Euclides : Elementos , libro II – prop. 14, libro VI – prop. 8, ( copia en línea )
↑ Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Geometría elemental . AMS 2008, ISBN 9780821843475, pág. 25 ( copia en línea , pág. 25, en Google Libros )

Enlaces externos

Media geométrica en el punto de inflexión

[HW-1] Hartmut Wellstein , Peter Kirsche : Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561, págs. 76-77 (alemán, copia en línea , pág. 76, en Google Books )

[2] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Iconos de las matemáticas: Una exploración de veinte imágenes clave . MAA 2011, ISBN 9780883853528, págs. 31–32 ( copia en línea , pág. 31, en Google Books )

[3] Euclides : Elementos , libro II – prop. 14, libro VI – prop. 8, ( copia en línea )

[4] Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Geometría elemental . AMS 2008, ISBN 9780821843475, pág. 25 ( copia en línea , pág. 25, en Google Libros )

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