Número de Riesel

En matemáticas , un número de Riesel es un número natural impar k para el cual${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$es compuesto para todos los números naturales n (secuencia A101036 en la OEIS ) . En otras palabras, cuando k es un número de Riesel, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:

${\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Si el formulario es en su lugar${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$, entonces k es un número de Sierpiński .

En 1956, Hans Riesel demostró que existe un número infinito de enteros k tales que${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$no es primo para ningún entero n . Demostró que el número 509203 tiene esta propiedad, al igual que 509203 más cualquier múltiplo entero positivo de 11184810. ^{[ 1 ]} El problema de Riesel consiste en determinar el número de Riesel más pequeño. Dado que no se ha encontrado ningún conjunto de recubrimiento para ningún k menor que 509203, se conjetura que es el número de Riesel más pequeño. 

Para comprobar si existen k < 509203, el proyecto Riesel Sieve (análogo a Seventeen or Bust para los números de Sierpiński ) comenzó con 101 candidatos k . A diciembre de 2022, 57 de estos k habían sido eliminados por Riesel Sieve, PrimeGrid o personas externas. ^{[ 2 ]} Los 41 valores restantes de k que han producido solo números compuestos para todos los valores de n probados hasta ahora son

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

La eliminación más reciente tuvo lugar en agosto de 2024, cuando Ryan Propper descubrió que 107347 × 2 ^23427517 − 1 era primo. Este número tiene 7.052.391 dígitos.

A enero de 2023, PrimeGrid había buscado entre los candidatos restantes hasta n = 14.900.000. ^{[ 3 ]}

La secuencia de números de Riesel conocidos hasta el momento comienza con:

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, 1106681, 1247173, 1254341, 1330207, 1330319, 1715053, 1730653, 1730681, 1744117, 1830187, 1976473, 2136283, 2251349, 2313487, 2344211, 2554843, 2924861, ... (secuencia A101036 en el OEIS )

Se puede demostrar que un número es un número de Riesel exhibiendo un conjunto de cobertura : un conjunto de números primos que dividen a cualquier elemento de la secuencia, llamado así porque se dice que "cubre" dicha secuencia. Los únicos números de Riesel comprobados menores que un millón tienen los siguientes conjuntos de cobertura:

• ${\displaystyle 509203\times 2^{n}-1}$tiene conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• ${\displaystyle 762701\times 2^{n}-1}$tiene conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• ${\displaystyle 777149\times 2^{n}-1}$tiene conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• ${\displaystyle 790841\times 2^{n}-1}$tiene conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• ${\displaystyle 992077\times 2^{n}-1}$tiene conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Aquí hay una secuencia${\displaystyle a(k)}$Para k = 1, 2, .... Se define de la siguiente manera:${\displaystyle a(k)}$es el n ≥ 0 más pequeño tal que${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$es primo, o -1 si no existe tal primo.

2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 7, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 12, 0, 3, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 7, 0, 1, ... (secuencia A040081 en el OEIS ) . La primera incógnita n es para que k = 23669.

Las secuencias relacionadas son (secuencia A050412 en la OEIS ) (no permite n = 0), para k impares , véase (secuencia A046069 en la OEIS ) o (secuencia A108129 en la OEIS ) (no permite n = 0).

Un número que pertenece tanto a Riesel como a Sierpiński es un número de Brier . Los cinco ejemplos más pequeños conocidos (y tenga en cuenta que algunos podrían ser más pequeños, es decir, que la secuencia podría no ser exhaustiva) son: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... ^{[ 4 ]} ( A076335 ). ^{[ 5 ]}

Los números de Riesel duales se definen como los números naturales impares k tales que |2 ⁿ − k | es compuesto para todos los números naturales n . Existe una conjetura que afirma que el conjunto de estos números es el mismo que el conjunto de los números de Riesel. Por ejemplo, |2 ⁿ − 509203| es compuesto para todos los números naturales n , y se conjetura que 509203 es el número de Riesel dual más pequeño.

Los n más pequeños para los que 2 ⁿ − k es primo son (para k impares , y esta secuencia requiere que 2 ⁿ > k )

2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (secuencia A096502 en el OEIS )

Los k impares que k − 2 ⁿ son todos compuestos para todo 2 ⁿ < k (los números de De Polignac ) son

1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, ... (secuencia A006285 en el OEIS )

Los valores desconocidos de k s son (para los cuales 2 ⁿ > k )

1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, ...

Se puede generalizar el problema de Riesel a una base entera b ≥ 2. Un número de Riesel en base b es un entero positivo k tal que mcd ( k − 1, b − 1) = 1. (si mcd( k − 1, b − 1) > 1, entonces mcd( k − 1, b − 1) es un factor trivial de k × b ⁿ − 1 (Definición de factores triviales para las conjeturas: Cada valor n tiene el mismo factor)) ^{[ 6 ] [ 7 ]} Para cada entero b ≥ 2, hay infinitos números de Riesel en base b .

Ejemplo 1: Todos los números congruentes con 84687 mod 10124569 y no congruentes con 1 mod 5 son números de Riesel en base 6, debido al conjunto de cobertura {7, 13, 31, 37, 97}. Además, estos k no son triviales, ya que mcd( k + 1, 6 − 1) = 1 para estos k . (La conjetura de Riesel en base 6 no está demostrada; quedan 3 k , a saber, 1597, 9582 y 57492).

Ejemplo 2: 6 es un número de Riesel para todas las bases b congruentes con 34 mod 35, porque si b es congruente con 34 mod 35, entonces 6 × b ⁿ − 1 es divisible por 5 para todo n par y divisible por 7 para todo n impar . Además, 6 no es un k trivial en estas bases b ya que mcd(6 − 1, b − 1) = 1 para estas bases b .

Ejemplo 3: Todos los cuadrados k congruentes con 12 mod 13 y no congruentes con 1 mod 11 son números de Riesel en base 12, ya que para todos estos k , k × 12 ⁿ − 1 tiene factores algebraicos para todo n par y es divisible por 13 para todo n impar . Además, estos k no son triviales, puesto que mcd( k + 1, 12 − 1) = 1 para estos k . (La conjetura de Riesel en base 12 queda demostrada).

Ejemplo 4: Si k está entre un múltiplo de 5 y un múltiplo de 11, entonces k × 10⁹ ⁿ − 1 es divisible por 5 o por 11 para todo entero positivo n . Los primeros k que cumplen esta condición son 21, 34, 76, 89, 131, 144, ... Sin embargo, todos estos k < 144 también son k triviales (es decir, mcd( k − 1, 10⁹ − 1) no es 1). Por lo tanto, el número de Riesel más pequeño en base 10⁹ es 144. (La conjetura de Riesel en base 10⁹ no está demostrada; queda un k restante , a saber, 84).

Ejemplo 5: Si k es cuadrado, entonces k × 49 ⁿ − 1 tiene factores algebraicos para todos los enteros positivos n . Los primeros cuadrados positivos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Sin embargo, todos estos k < 36 también son k triviales (es decir, mcd( k − 1, 49 − 1) no es 1). Por lo tanto, el número de Riesel más pequeño en base 49 es 36. (La conjetura de Riesel en base 49 queda demostrada).

Queremos encontrar y demostrar el número de Riesel más pequeño en base b para cada entero b ≥ 2. Es una conjetura que si k es un número de Riesel en base b , entonces se cumple al menos una de las tres condiciones:

1. Todos los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en algún conjunto de recubrimiento. (Por ejemplo, si b = 22 y k = 4461, entonces todos los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en el conjunto de recubrimiento: {5, 23, 97}).
2. k × b ⁿ − 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, si b = 9 y k = 4, entonces k × b ⁿ − 1 se puede factorizar como (2×3 ⁿ − 1) × (2×3 ⁿ + 1)).
3. Para algún n , los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en algún conjunto de recubrimiento; y para todos los demás n , k × b ⁿ − 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, b = 19, k = 144, entonces si n es impar, k × b ⁿ − 1 es divisible por 5, si n es par, k × b ⁿ − 1 se puede factorizar como (12 × 19 ^{n / 2} − 1) × (12 × 19 ^{n / 2} + 1)) .

En la siguiente lista, solo consideramos aquellos enteros positivos k tales que mcd( k − 1, b − 1) = 1, y todos los enteros n deben ser ≥ 1.

Nota: los valores k que son múltiplos de b y donde k −1 no es primo se incluyen en las conjeturas (y se incluyen en los k restantes con color rojo si no se conocen primos para estos valores k ) pero se excluyen de las pruebas (por lo tanto, nunca serán los k de "los 5 primos más grandes encontrados"), ya que tales valores k tendrán el mismo primo que k / b .

Los números de Riesel más pequeños conjeturados en base n son (comenzando con n = 2)

509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16, 64, 900, 5392, 4, 6852, 20, 144, 105788, 4, 121, 13484, 8, 187258666, 9, ... (secuencia A273987 en el OEIS )

• Número de Sierpiński
• Número de Woodall
• matemáticas experimentales
• BOINC
• PrimeGrid

• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Berlín: Springer-Verlag . pág.  120. ISBN 0-387-20860-7.
• Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de los récords de números primos . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 357-358 . ISBN  0-387-94457-5.

• primecrunch, un proyecto de computación distribuida que busca números primos de Riesel grandes.
• PrimeGrid
• El problema del Riesel: definición y situación
• The Prime Glossary: ​​número de Riesel
• Lista de números primos de la forma: k*2^n-1, k<300
• Lista de números primos de la forma: k*2^n-1, k<300, Proyecto Riesel Prime Search
• Base de datos de Riesel y Proth Prime