Función xi de Riemann

En matemáticas , la función xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann y se define de manera que tenga una ecuación funcional particularmente simple . La función recibe su nombre en honor a Bernhard Riemann .

La función "xi" minúscula original de Riemann,${\displaystyle \xi }$fue renombrado con un${\displaystyle \Xi }$( Letra mayúscula griega "xi" ) de Edmund Landau .${\displaystyle \xi }$(xi minúscula) se define como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

para${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$. Aquí${\displaystyle \zeta (s)}$denota la función zeta de Riemann y${\displaystyle \Gamma (s)}$es la función gamma .

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión ) para la ecuación de Landau${\displaystyle \xi }$es

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}$

La función original de Riemann, renombrada como mayúscula${\displaystyle \Xi }$por Landau, ^{[ 1 ]} satisface

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$

y obedece la ecuación funcional

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z).}$

Ambas funciones son completas y puramente reales para argumentos reales.

La forma general para los enteros pares positivos es

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

dónde${\displaystyle B_{n}}$denota el${\displaystyle n}$Número de Bernoulli . Por ejemplo:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

El${\displaystyle \xi }$La función tiene la expansión de la serie

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

dónde

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

donde la suma se extiende sobre${\displaystyle \rho }$, los ceros no triviales de la función zeta, en orden de${\displaystyle \vert \Soy (\rho )\vert }$.

Esta expansión juega un papel particularmente importante en el criterio de Li , que establece que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener${\displaystyle \lambda _ {n}>0}$para todos los positivos${\displaystyle n}$.

Una expansión de producto infinita simple es

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),}$

dónde${\displaystyle \rho }$abarca las raíces de${\displaystyle \xi }$.

Para asegurar la convergencia en la expansión, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle {\bar {\rho }}}$deben agruparse.

• Weisstein, Eric W. "Función Xi" . MathWorld .
• Keiper, JB (1992). "Expansiones en series de potencias de la función xi de Riemann" . Mathematics of Computation . 58 (198): 765– 773. Bibcode : 1992MaCom..58..765K . doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

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