Método de Ridders

En análisis numérico , el método de Ridders es un algoritmo de búsqueda de raíces basado en el método de la falsa posición y el uso de una función exponencial para aproximar sucesivamente una raíz de una función continua.${\displaystyle f(x)}$El método se debe a C.  Ridders. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El método de Ridders es más simple que el método de Muller o el método de Brent , pero con un rendimiento similar. ^{[ 3 ]} La fórmula siguiente converge cuadráticamente cuando la función se comporta bien, lo que implica que el número de dígitos significativos adicionales encontrados en cada paso se duplica aproximadamente; pero la función debe evaluarse dos veces para cada paso, por lo que el orden general de convergencia del método con respecto a las evaluaciones de la función en lugar de con respecto al número de iteraciones es${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Si la función no se comporta correctamente, la raíz permanece entre corchetes y la longitud del intervalo de corchetes se reduce al menos a la mitad en cada iteración, por lo que se garantiza la convergencia.

Dados dos valores de la variable independiente,${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle x_{2}}$, que se encuentran en dos lados diferentes de la raíz que se busca, de modo que${\displaystyle f(x_{0})f(x_{2})<0}$El método comienza evaluando la función en el punto medio. ${\displaystyle x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}$Entonces se encuentra la función exponencial única.${\displaystyle e^{ax}}$de tal manera que funcione${\displaystyle h(x)=f(x)e^{ax}}$Satisface${\displaystyle h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$. Específicamente, el parámetro${\displaystyle a}$está determinado por

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-\operatorname {sign} [f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

Luego se aplica el método de posición falsa a los puntos.${\displaystyle (x_{0},h(x_{0}))}$y${\displaystyle (x_{2},h(x_{2}))}$, lo que conduce a un nuevo valor${\displaystyle x_{3}}$entre${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle x_{2}}$,

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\operatorname {sign} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

que se utilizará como uno de los dos valores de delimitación en el siguiente paso de la iteración. El otro valor de delimitación se toma como${\displaystyle x_{1}}$si${\displaystyle f(x_{1})f(x_{3})<0}$(lo cual será cierto en el caso de buen comportamiento), o de lo contrario, cualquiera de las siguientes opciones:${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle x_{2}}$tiene un valor de función de signo opuesto a${\displaystyle f(x_{3}).}$El procedimiento iterativo puede finalizarse cuando se alcanza la precisión deseada.

El método de Ridders es un algoritmo numérico para encontrar raíces que se utiliza para hallar un cero de una función continua. Es un método iterativo que combina el método de la falsa posición con una función exponencial para converger hacia una raíz. Generalmente se considera que este método es más sencillo y su rendimiento es similar al de otros métodos populares como los de Muller o Brent.