Proceso de ramificación dependiente de los recursos

Un proceso de ramificación (PR) ^{[ 1 ]} es un modelo matemático que describe el desarrollo de una población. Aquí, población se entiende en un sentido general, incluyendo poblaciones humanas, animales, bacterias y otros organismos que se reproducen biológicamente, procesos en cascada o partículas que se dividen físicamente, entre otros. Los miembros de una población de PR se denominan individuos o partículas.

Si los tiempos de reproducción son discretos (generalmente denotados por 1, 2, ...), entonces se considera que la totalidad de los individuos presentes en el tiempo n y que viven hasta el tiempo n + 1, excluidos, forman la n ^-ésima generación. Los procesos biológicos simples se definen por un estado inicial (número de individuos en el tiempo 0) y una ley de reproducción, generalmente denotada por p _k , k = 1, 2, ... .

Un proceso de ramificación dependiente de recursos (RDBP, por sus siglas en inglés) es un proceso de ramificación en tiempo discreto que modela el desarrollo de una población en la que los individuos deben trabajar para sobrevivir y reproducirse. La población decide la forma de sociedad que determina las reglas de distribución de los recursos disponibles entre los individuos. Para ello, un RDBP debe incorporar al menos cuatro componentes adicionales: las demandas individuales de recursos, la creación de nuevos recursos para la siguiente generación, la noción de una política de distribución de recursos y una opción de control para las interacciones de los individuos con la sociedad.

Un proceso de ramificación dependiente de recursos (en tiempo discreto) es un proceso estocástico Γ definido en los enteros no negativos que es un BP definido por

• un estado inicial Γ ₀ ;
• una ley de reproducción de los individuos;
• una ley de creación individual de recursos;
• una ley de demandas (reclamaciones) de recursos individuales;
• una política para distribuir los recursos disponibles a los individuos que están presentes en la población
• una herramienta de interacción entre los individuos y la sociedad.

Los RDBP pueden considerarse (en un sentido más amplio) como procesos de ramificación controlados. Fueron introducidos por F. Thomas Bruss (1983) con el objetivo de modelar diferentes estructuras sociales y comparar las ventajas y desventajas de distintas formas de sociedades humanas. En estos procesos, los individuos tienen un medio de interacción con la sociedad que determina las reglas sobre cómo deben distribuirse los recursos disponibles entre ellos. Esta interacción (por ejemplo, en forma de emigración) cambia la tasa efectiva de reproducción de los individuos que permanecen en la sociedad. En ese sentido, los RDBP tienen algunos elementos en común con los denominados BP dependientes del tamaño de la población ^{[ 2 ] [ 3 ],} en los que la ley de reproducción independiente individual (véase el proceso de Galton-Watson ) es una función del tamaño actual de la población.

Los modelos realistas para las sociedades humanas requieren un modo de reproducción bisexual, mientras que en la definición de un RDBP simplemente se habla de una ley de reproducción. Sin embargo, la noción de una tasa de reproducción promedio por individuo (Bruss 1984) para procesos bisexuales muestra que, para todas las cuestiones relevantes para el comportamiento a largo plazo de las sociedades humanas, se justifica, por simplicidad, asumir la reproducción asexual . Por ello, ciertos resultados limitantes de Klebaner (1984) ^{[ 3 ]} y Jagers y Klebaner (2000) ^{[ 2 ]} se aplican a los RDBP. Los modelos para el desarrollo de una sociedad humana en el tiempo deben permitir la interdependencia entre los diferentes componentes. Dichos modelos son, en general, muy complejos y corren el riesgo de volverse intratables. Esto llevó a la idea de no intentar modelar el desarrollo de una sociedad con un (único) RDBP realista, sino más bien mediante una secuencia de acciones de control que definen una secuencia de RDBP relevantes a corto plazo.

Dos políticas específicas destacan como directrices para el desarrollo de cualquier sociedad. Estas dos políticas son la denominada política de priorizar a los más débiles (política wf) y la denominada política de priorizar a los más fuertes (política sf).

La política wf es la regla que se aplica en cada generación, siempre que el espacio de recursos acumulados lo permita, dando prioridad a los individuos con las menores demandas individuales. La política sf es la regla que se aplica en cada generación, dando prioridad a las mayores demandas individuales de recursos, siempre que el espacio de recursos acumulados sea suficiente. Las sociedades que adoptan estrictamente estas políticas se denominan sociedad wf y sociedad sf, respectivamente.

En la teoría de los procesos de negocio, interesa saber si un proceso puede sobrevivir a largo plazo. Para los procesos de negocio de recursos distribuidos, esta cuestión depende en gran medida de una característica sobre la que los individuos tienen una gran influencia: la política de distribución de recursos.

Dejar:

m = reproducción media (descendientes) por individuo

r = producción media (creación de recursos) por individuo

F = la distribución de probabilidad individualde las reclamaciones (recursos)

Supongamos además que todos los individuos que no obtengan su derecho al recurso morirán o emigrarán antes de reproducirse. Entonces, utilizando los resultados sobre los tiempos de parada esperados para sumas de estadísticas de orden ^{[ 4 ],} los criterios de supervivencia se pueden calcular explícitamente tanto para la sociedad wf como para la sociedad sf en función de m , r y F.

El resultado posiblemente más sólido conocido para los RDBP es el teorema de la envolvimiento de las sociedades. ^{[ 5 ]} Afirma que, a largo plazo, cualquier sociedad que desee sobrevivir y en la que los individuos prefieran en general un nivel de vida más alto a uno más bajo, está destinada a vivir a largo plazo entre la sociedad wf y la sociedad sf. La intuición de por qué esto debería ser cierto es errónea. La demostración matemática depende de los resultados mencionados sobre tiempos de parada esperados para sumas de estadísticas de orden ^{[ 4 ]} y actos de equilibrio finamente ajustados entre supuestos del modelo y diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias .

• Proceso de ramificación controlado
• Proceso bisexual de Galton-Watson
• Teorema de Bruss-Duerinckx

• Bruss, F. Thomas (1983). "Procesos de ramificación dependientes de recursos". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 16 : 36.
• Bruss, F. Thomas (1984). "Una nota sobre los criterios de extinción para los procesos bisexuales de Galton-Watson". Journal of Applied Probability . 21 : 915–919 . doi : 10.2307/3213707 .