Resonancias en la dispersión de potenciales

En mecánica cuántica , la sección eficaz de resonancia se produce en el contexto de la teoría de dispersión cuántica , que se ocupa del estudio de la dispersión de partículas cuánticas a partir de potenciales. El problema de dispersión se ocupa del cálculo de la distribución del flujo de partículas/ondas dispersas en función del potencial y del estado (caracterizado por la conservación del momento/energía ) de la partícula incidente. Para una partícula cuántica libre incidente en el potencial, la solución de onda plana para la ecuación de onda de Schrödinger independiente del tiempo es:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}}$

Para problemas unidimensionales, resulta de interés el coeficiente de transmisión, que se define como: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }|}{|{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }|}}}$

donde es la densidad de corriente de probabilidad. Esto da la fracción del haz incidente de partículas que logra atravesar el potencial. Para problemas tridimensionales, se calcularía la sección transversal de dispersión , que, en términos generales, es el área total del haz incidente que se dispersa. Otra cantidad relevante es la sección transversal parcial , , que denota la sección transversal de dispersión para una onda parcial de un estado propio de momento angular definido. Estas cantidades dependen naturalmente de , el vector de onda de la onda incidente, que está relacionado con su energía por: ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}|{\vec {k}}|^{2}}{2m}}}$

Los valores de estas magnitudes de interés, el coeficiente de transmisión (en el caso de potenciales unidimensionales) y la sección transversal parcial muestran picos en su variación con la energía incidente . Estos fenómenos se denominan resonancias. ${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle E}$

Un potencial cuadrado finito unidimensional está dado por

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$

El signo de determina si el potencial cuadrado es un pozo o una barrera . Para estudiar los fenómenos de resonancia, se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un estado estacionario de una partícula masiva con energía :${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E>V_{0}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$

Las soluciones de la función de onda para las tres regiones son ${\displaystyle x<0,0<x<L,x>L}$

${\displaystyle \psi _{1}(x)={\begin{cases}A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x},&x<0,\\A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x},&0<x<L,\\A_{3}e^{ik_{1}x}+B_{3}e^{-ik_{1}x},&x>L,\end{cases}}}$

Aquí, y son los números de onda en la región libre de potencial y dentro del potencial respectivamente: ${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle k_{1}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$

${\displaystyle k_{2}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }},}$

Para calcular , se establece un coeficiente en la función de onda como , que corresponde al hecho de que no hay onda incidente sobre el potencial desde la derecha. Imponiendo la condición de que la función de onda y su derivada deben ser continuas en los límites pozo/barrera y , se encuentran las relaciones entre los coeficientes, lo que permite hallar como: ${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{3}=0}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|A_{3}|^{2}}{|A_{1}|^{2}}}={\frac {4E(E-V_{0})}{4E(E-V_{0})+V_{0}^{2}\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]}}}$

De ello se deduce que el coeficiente de transmisión alcanza su valor máximo de 1 cuando: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]=0{\text{, or }}{\sqrt {2m(E-V_{0})}}={\frac {n\pi \hbar }{L}}}$

para cualquier valor entero . Esta es la condición de resonancia , que conduce al pico de hasta sus máximos, llamado resonancia . ${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$

De la expresión anterior, la resonancia ocurre cuando la distancia recorrida por la partícula al atravesar el pozo y regresar ( ) es un múltiplo entero de la longitud de onda de De Broglie de una partícula dentro del potencial ( ). Para , las reflexiones en discontinuidades de potencial no están acompañadas de ningún cambio de fase. ^[1] Por lo tanto, las resonancias corresponden a la formación de ondas estacionarias dentro de la barrera/pozo de potencial. En resonancia, las ondas incidentes en el potencial en y las ondas que se reflejan entre las paredes del potencial están en fase y se refuerzan entre sí. Lejos de las resonancias, no se pueden formar ondas estacionarias. Entonces, las ondas que se reflejan entre ambas paredes del potencial (en y ) y la onda transmitida a través de están desfasadas y se destruyen entre sí por interferencia. La física es similar a la de la transmisión en el interferómetro de Fabry-Pérot en óptica, donde la condición de resonancia y la forma funcional del coeficiente de transmisión son las mismas. ${\displaystyle 2L}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$${\displaystyle E>V_{0}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$

El coeficiente de transmisión oscila entre su máximo de 1 y su mínimo de como función de la longitud del pozo cuadrado ( ) con un período de . Los mínimos de la transmisión tienden a en el límite de gran energía , lo que resulta en resonancias más superficiales, y tienden inversamente a en el límite de baja energía , lo que resulta en resonancias más agudas. Esto se demuestra en gráficos del coeficiente de transmisión en función de la energía de la partícula incidente para valores fijos del factor de forma, definido como${\displaystyle \left[1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E(E-V_{0})}}\right]^{-1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\frac {\pi }{k_{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E>>V_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E<<V_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mV_{0}L^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$

• Resonancia (física de partículas)
• Partición de Feshbach-Fano

• Merzbacher Eugene. Mecánica cuántica . John Wiley and Sons.
• Cohen-Tannoudji Claude. Mecánica cuántica . Wiley-VCH.