Velocidad relativa

Comenzamos con el movimiento relativo en la aproximación clásica (o no relativista , o newtoniana ) donde todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz. Este límite está asociado con la transformación galileana . La figura muestra a un hombre sobre un tren, en el borde posterior. A la 1:00 p. m. comienza a caminar hacia adelante a una velocidad de 10 km/h (kilómetros por hora). El tren se mueve a 40 km/h. La figura representa al hombre y al tren en dos momentos diferentes: primero, cuando comenzó el viaje, y también una hora después, a las 2:00 p. m. La figura sugiere que el hombre está a 50 km del punto de partida después de haber viajado (caminando y en tren) durante una hora. Esto, por definición, es 50 km/h, lo que sugiere que la fórmula para calcular la velocidad relativa de esta manera es sumar las dos velocidades.    

El diagrama muestra relojes y reglas para recordar al lector que, si bien la lógica detrás de este cálculo parece impecable, parte de suposiciones falsas sobre cómo se comportan los relojes y las reglas. (Véase el experimento mental del tren y el andén ). Para reconocer que este modelo clásico de movimiento relativo viola la relatividad especial , generalizamos el ejemplo en una ecuación:

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$es la velocidad de M an relativa a la Tierra,

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$es la velocidad de M an relativa al Tren ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$es la velocidad del tren en relación con la Tierra.

Las expresiones totalmente legítimas para "la velocidad de A con respecto a B" incluyen "la velocidad de A con respecto a B" y "la velocidad de A en el sistema de coordenadas donde B siempre está en reposo". La violación de la relatividad especial se produce porque esta ecuación para la velocidad relativa predice erróneamente que diferentes observadores medirán velocidades diferentes al observar el movimiento de la luz. ^{[ nota 1 ]}

La figura muestra dos objetos A y B moviéndose a velocidad constante. Las ecuaciones de movimiento son:

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

donde el subíndice i se refiere al desplazamiento inicial (en el instante t igual a cero). La diferencia entre los dos vectores de desplazamiento,${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$, representa la ubicación de B vista desde A.

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{separación inicial}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relativo velocidad}}.}$

Por eso:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

Después de realizar las sustituciones${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$, tenemos:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

Para construir una teoría del movimiento relativo consistente con la teoría de la relatividad especial, debemos adoptar una convención diferente. Siguiendo trabajando en el límite newtoniano (no relativista) , comenzamos con una transformación galileana en una dimensión: ^{[ nota 2 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

donde x' es la posición vista por un sistema de referencia que se mueve a velocidad v en el sistema de referencia "sin primar" (x). ^{[ nota 3 ]} Tomando la diferencial de la primera de las dos ecuaciones anteriores, tenemos:${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$y lo que puede parecer la afirmación obvia ^{[ nota 4 ] de que}${\displaystyle dt'=dt}$, tenemos:

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Para recuperar las expresiones anteriores para la velocidad relativa, suponemos que la partícula A sigue la trayectoria definida por dx/dt en el sistema de referencia sin primar (y por lo tanto dx ′ / dt ′ en el sistema de referencia primado). Así pues,${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$y${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$, dónde${\displaystyle O}$y${\displaystyle O'}$Nos referimos al movimiento de A visto por un observador en el sistema de referencia no primado y primado, respectivamente. Recordemos que v es el movimiento de un objeto estacionario en el sistema de referencia primado, visto desde el sistema de referencia no primado. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$, y:

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

donde esta última forma posee la simetría deseada (fácil de aprender).

En el caso de que dos objetos viajen en direcciones paralelas, la fórmula relativista para la velocidad relativa es similar en forma a la fórmula para la suma de velocidades relativistas.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

En el caso en que dos objetos viajan en direcciones perpendiculares, la velocidad relativa relativista${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$viene dada por la fórmula:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

La fórmula general para la velocidad relativa${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$La posición de un objeto u observador B en el sistema de referencia en reposo de otro objeto u observador A viene dada por la fórmula: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$