regla utilitarista

En la investigación de operaciones y elección social , la regla utilitarista (también llamada regla de suma máxima ) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, la sociedad debe elegir la alternativa que maximice la suma de las utilidades de todos los individuos en la sociedad. ^{[ 1 ] : sub.2.5} Es una representación matemática formal de la filosofía utilitarista , y a menudo se justifica haciendo referencia al teorema utilitarista de Harsanyi o al teorema de Von Neumann-Morgenstern .

Dejar${\displaystyle X}$ser un conjunto de posibles "estados del mundo" o "alternativas". La sociedad desea elegir un único estado de entre${\displaystyle X}$. Por ejemplo, en una elección de un solo ganador ,${\displaystyle X}$puede representar el conjunto de candidatos; en un contexto de asignación de recursos ,${\displaystyle X}$puede representar todas las posibles asignaciones del recurso.

Dejar${\displaystyle I}$sea ​​un conjunto finito, que representa una colección de individuos. Para cada${\displaystyle i\in I}$, dejar${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$sea ​​una función de utilidad , que describe la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible.

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$seleccionar algún elemento(s) de${\displaystyle X}$que son "mejores" para la sociedad (la cuestión de qué significa "mejor" es el problema fundamental de la teoría de la elección social ).

La regla utilitarista selecciona un elemento${\displaystyle x\in X}$que maximiza la suma utilitaria

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

La regla utilitarista es fácil de interpretar e implementar cuando las funciones u _i representan alguna forma tangible y medible de utilidad. Por ejemplo: ^{[ 1 ] : 44}

• Consideremos un problema de asignación de madera entre constructores. Las funciones de utilidad pueden representar su poder productivo:${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$es el número de edificios que el agente${\displaystyle i}$puede construir usando${\displaystyle y_{i}}$unidades de madera. La regla utilitarista asigna entonces la madera de manera que se maximice el número de edificios.
• Consideremos un problema de asignación de un medicamento raro entre pacientes. Las funciones de utilidad pueden representar su probabilidad de recuperación:${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$es la probabilidad del agente${\displaystyle i}$recuperarse al conseguir${\displaystyle y_{i}}$dosis del medicamento. La regla utilitarista asigna entonces el medicamento de manera que se maximice el número esperado de supervivientes.

Cuando las funciones u _i representan alguna forma abstracta de "felicidad", la regla utilitarista se vuelve más difícil de interpretar. Para que la fórmula anterior tenga sentido, debe asumirse que las funciones de utilidad${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$son comparables tanto a nivel cardinal como interpersonal a nivel cardinal.

La noción de que los individuos tienen funciones de utilidad cardinales no es tan problemática. La utilidad cardinal se ha asumido implícitamente en la teoría de la decisión desde el análisis de Daniel Bernoulli de la paradoja de San Petersburgo . Teorías matemáticas rigurosas de la utilidad cardinal (con aplicación a la toma de decisiones arriesgadas) fueron desarrolladas por Frank P. Ramsey , Bruno de Finetti , von Neumann y Morgenstern , y Leonard Savage . Sin embargo, en estas teorías, la función de utilidad de una persona solo está bien definida hasta un "reescalamiento afín". Por lo tanto, si la función de utilidad${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$es una descripción válida de sus preferencias, y si${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$son dos constantes con${\displaystyle s_{i}>0}$, luego la función de utilidad "reescalada"${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$es una descripción igualmente válida de sus preferencias. Si definimos un nuevo paquete de funciones de utilidad${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$utilizando posiblemente diferentes${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle s_{i}>0}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$y luego consideramos la suma utilitaria

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

entonces en general, el maximizador de${\displaystyle V}$no será lo mismo que el maximizador de${\displaystyle U}$Por lo tanto, en cierto sentido, la elección social utilitarista clásica no está bien definida dentro del modelo estándar de utilidad cardinal utilizado en la teoría de la decisión, a menos que se especifique un mecanismo para "calibrar" las funciones de utilidad de los diferentes individuos.

El utilitarismo relativo propone un mecanismo de calibración natural. Para cada${\displaystyle i\in I}$, supongamos que los valores

${\displaystyle m_{i}\$ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{y}}\quad M_{i}\  :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}

están bien definidos. (Por ejemplo, esto siempre será cierto si${\displaystyle X}$es finito, o si${\displaystyle X}$es un espacio compacto y${\displaystyle u_{i}}$es una función continua.) Entonces defina

${\displaystyle w_{i}(x)\$ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}

a pesar de${\displaystyle x\in X}$. De este modo,${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$es una función de utilidad "reescalada" que tiene un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1. La regla de elección social utilitarista relativa selecciona el elemento en${\displaystyle X}$que maximiza la suma utilitaria

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

Como función abstracta de elección social, el utilitarismo relativo ha sido analizado por Cao (1982), ^{[ 2 ]} Dhillon (1998), ^{[ 3 ]} Karni (1998), ^{[ 4 ]} Dhillon y Mertens (1999), ^{[ 5 ]} Segal (2000), ^{[ 6 ]} Sobel (2001) ^{[ 7 ]} y Pivato (2008). ^{[ 8 ]} (Cao (1982) se refiere a él como la "solución de Thomson modificada").

Toda función de elección social eficiente en el sentido de Pareto es necesariamente una función de elección utilitaria, un resultado conocido como el teorema utilitario de Harsanyi . Específicamente, toda función de elección social eficiente en el sentido de Pareto debe ser una combinación lineal de las funciones de utilidad de cada función de utilidad individual (con ponderaciones estrictamente positivas).

En el contexto de la votación, la regla utilitarista conduce a varios métodos de votación:

• La votación por rangos (también llamada votación por puntuación o votación utilitaria) implementa la regla utilitaria relativa al permitir que los votantes expresen explícitamente su utilidad para cada alternativa en una escala normalizada común.
• El voto utilitarista implícito intenta aproximarse a la regla utilitarista, permitiendo a los votantes expresar únicamente clasificaciones ordinales sobre los candidatos.

En el contexto de la asignación de recursos, la regla utilitarista conduce a:

• Una regla particular para la división de un único recurso homogéneo ;
• Varias reglas y algoritmos para el reparto utilitario de recursos heterogéneos;
• Una regla particular para la asignación justa de artículos . ^{[ 9 ]}
• Problema de maximización del bienestar .
• Emparejamiento estable utilitario

• Gobierno igualitario
• Regla de proporcionalidad justa
• Problema de maximización de la utilidad