Conjunto abierto regular

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se denomina conjunto abierto regular si es igual al interior de su clausura ; expresado simbólicamente, si${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$o, equivalentemente, si${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}$dónde${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$y${\displaystyle \partial S}$denotan, respectivamente, el interior, el cierre y el límite de${\displaystyle S.}$^{[ 1 ]}

Un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$Se denomina conjunto cerrado regular si es igual a la clausura de su interior; expresado simbólicamente, si${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$o, equivalentemente, si${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}$^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene su topología euclidiana habitual entonces el conjunto abierto${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}$no es un conjunto abierto regular, ya que${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}$Cada intervalo abierto en${\displaystyle \mathbb {R} }$es un conjunto abierto regular y todo intervalo cerrado no degenerado (es decir, un intervalo cerrado que contiene al menos dos puntos distintos) es un conjunto cerrado regular. Un conjunto unitario${\displaystyle \{x\}}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle \mathbb {R} }$pero no es un conjunto cerrado regular porque su interior es el conjunto vacío.${\displaystyle \varnothing ,}$de modo que${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

Un subconjunto de${\displaystyle X}$es un conjunto abierto regular si y solo si su complemento en${\displaystyle X}$es un conjunto cerrado regular. ^{[ 2 ]} Todo conjunto abierto regular es un conjunto abierto y todo conjunto cerrado regular es un conjunto cerrado .

Un subconjunto${\displaystyle G}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$es un conjunto abierto regular si y solo si${\displaystyle G=\operatorname {Int} ({\overline {A}})}$para algunos${\displaystyle A\subset X}$^{[ 2 ]} . Esto es consecuencia de las propiedades máximas y mínimas de los operadores de interior y cierre que, cuando se combinan, conducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset {\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset \operatorname {Int} {\Big (}{\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}{\Big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad {\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {Int} {\Big (}{\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}{\Big )}\subset \operatorname {Int} ({\overline {A}})\end{aligned}}}$

Cada subconjunto abierto de${\displaystyle X}$(que incluye${\displaystyle \varnothing }$y${\displaystyle X}$en sí mismo) es simultáneamente un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular.

La intersección (pero no necesariamente la unión) de dos conjuntos abiertos regulares es un conjunto abierto regular. De manera similar, la unión (pero no necesariamente la intersección) de dos conjuntos cerrados regulares es un conjunto cerrado regular. ^{[ 2 ]}

La colección de todos los conjuntos abiertos regulares en${\displaystyle X}$forma un álgebra booleana completa ; la operación de unión viene dada por${\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),}$La reunión es${\displaystyle U\land V=U\cap V}$y el complemento es${\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}$

• Espacio regular – Propiedad del espacio topológico 
• Espacio semirregular
• Axioma de separación – Axiomas en topología que definen las nociones de "separación" 

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X(Edición de Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​