Matriz de Hadamard regular

En matemáticas, una matriz de Hadamard regular es aquella cuyas sumas de filas y columnas son todas iguales. Si bien el orden de una matriz de Hadamard debe ser 1, 2 o un múltiplo de 4, las matrices de Hadamard regulares tienen la restricción adicional de que el orden debe ser un número cuadrado . El exceso , denotado E ( H ), de una matriz de Hadamard H de orden n se define como la suma de las entradas de H. El exceso satisface la cota | E ( H )| ≤ n³ ^/² . Una matriz de Hadamard alcanza esta cota si y solo si es regular.   

Si n  =  4 u ² es el orden de una matriz de Hadamard regular, entonces el exceso es ±8 u ³ y las sumas de filas y columnas son todas iguales a ±2 u . De ello se deduce que cada fila tiene 2 u ²  ± u entradas positivas y 2 u ² ∓ u entradas negativas. La ortogonalidad de las filas implica que cualesquiera dos filas distintas tienen exactamente u ² ± u entradas positivas en común. Si H se interpreta como la matriz de incidencia de un diseño de bloques , donde 1 representa la incidencia y −1 representa la no incidencia, entonces H corresponde a un diseño simétrico 2-( v , k , λ ) con parámetros (4 u ² , 2 u ² ± u , u ² ± u ). Un diseño con estos parámetros se denomina diseño de Menon .           

Se conocen varios métodos para construir matrices de Hadamard regulares, y se han realizado búsquedas computacionales exhaustivas de matrices de Hadamard regulares con grupos de simetría específicos , pero se desconoce si todo cuadrado perfecto par es del orden de una matriz de Hadamard regular. Las matrices de Hadamard de tipo Bush son matrices de Hadamard regulares de una forma especial y están relacionadas con planos proyectivos finitos .

Al igual que las matrices de Hadamard en general, las matrices de Hadamard regulares reciben su nombre de Jacques Hadamard . Los diseños de Menon reciben su nombre de P. Kesava Menon , y las matrices de Hadamard de tipo Bush reciben su nombre de Kenneth A. Bush.

• CJ Colbourn y JH Dinitz (Eds.), The CRC Handbook of Combinatorial Designs, 2.ª ed., CRC Press, Boca Raton, Florida, 2006.
• WD Wallis, Anne Penfold Street y Jennifer Seberry Wallis , Combinatoria: Cuadrados de habitaciones, conjuntos libres de suma, matrices de Hadamard, Springer-Verlag, Berlín 1972.