Subespacio de reducción

En álgebra lineal , un subespacio reductor${\displaystyle W}$de un mapa lineal${\displaystyle T:V\to V}$desde un espacio de Hilbert${\displaystyle V}$para sí mismo es un subespacio invariante de${\displaystyle T}$cuyo complemento ortogonal${\displaystyle W^{\perp }}$es también un subespacio invariante de${\displaystyle T.}$Eso es,${\displaystyle T(W)\subseteq W}$y${\displaystyle T(W^{\perp })\subseteq W^{\perp }.}$Se dice que el subespacio${\displaystyle W}$reduce el mapa${\displaystyle T.}$

Se dice que una aplicación lineal es reducible si tiene un subespacio reductor no trivial . De lo contrario, se dice que es irreducible .

Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita${\displaystyle r}$y${\displaystyle W}$es un subespacio reductor del mapa${\displaystyle T:V\to V}$representado bajo base${\displaystyle B}$por matriz${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$entonces${\displaystyle M}$se puede expresar como la suma

$${\displaystyle M=P_{W}MP_{W}+P_{W^{\perp }}MP_{W^{\perp }}}$$

dónde${\displaystyle P_{W}\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$es la matriz de la proyección ortogonal de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$y${\displaystyle P_{W^{\perp }}=IP_{W}}$es la matriz de la proyección sobre${\displaystyle W^{\perp }.}$^{[ 1 ]} (Aquí${\displaystyle I\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$es la matriz identidad .

Además,${\displaystyle V}$tiene una base ortonormal${\displaystyle B'}$con un subconjunto que es una base ortonormal de${\displaystyle W}$. Si${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$es la matriz de transición de${\displaystyle B}$a${\displaystyle B'}$entonces con respecto a${\displaystyle B'}$la matriz${\displaystyle Q^{-1}MQ}$representando${\displaystyle T}$es una matriz diagonal por bloques

$${\displaystyle Q^{-1}MQ=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right]}$$

con${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{d\times d},}$dónde${\displaystyle d=\dim W}$, y${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{(rd)\times (rd)}.}$