Producto reducido

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , y en el álgebra , el producto reducido es una construcción que generaliza tanto el producto directo como el ultraproducto .

Sea { S _i  | i ∈ I } una familia no vacía de estructuras de la misma signatura σ indexadas por un conjunto I , y sea U un filtro propio en I . El dominio del producto reducido es el cociente del producto cartesiano.   

${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$

por una cierta relación de equivalencia  ~: dos elementos ( a _i ) y ( b _i ) del producto cartesiano son equivalentes si

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U}$

Si U solo contiene I como elemento, la relación de equivalencia es trivial y el producto reducido es simplemente el producto directo. Si U es un ultrafiltro , el producto reducido es un ultraproducto.

Las operaciones de σ se interpretan en el producto reducido aplicando la operación punto por punto. Las relaciones se interpretan mediante

${\displaystyle R((a_{i}^{1})/{\sim },\dots ,(a_{i}^{n})/{\sim })\iff \{i\in I\mid R^{S_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\}\in U.}$

Por ejemplo, si cada estructura es un espacio vectorial , entonces el producto reducido es un espacio vectorial con la suma definida como ( a  + b ) _i = a _i + b _i y la multiplicación por un escalar c como ( ca ) _i = c a _i .       

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª  ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3., Capítulo 6.