Reducir (sistema de álgebra computacional)

REDUCE es un sistema de álgebra computacional de propósito general, originalmente diseñado para aplicaciones en física.

El desarrollo de REDUCE fue iniciado en 1963 por Anthony C. Hearn ; desde entonces, muchos científicos de todo el mundo han contribuido a su desarrollo. ^{[ 2 ]} REDUCE se publicó como código abierto en diciembre de 2008 y está disponible gratuitamente bajo una licencia BSD modificada en SourceForge . Anteriormente, su precio era de 695 dólares.

REDUCE está escrito completamente en su propio dialecto Lisp llamado Standard Lisp, ^{[ 3 ]} expresado en una sintaxis similar a ALGOL llamada RLISP que también se utiliza como base para el lenguaje de nivel de usuario de REDUCE.

Existen implementaciones de REDUCE disponibles para la mayoría de las variantes de sistemas Unix , Linux , Microsoft Windows o Apple Macintosh , utilizando una implementación subyacente de Portable Standard Lisp (PSL) o Codemist Standard Lisp (CSL). CSL REDUCE ofrece una interfaz gráfica de usuario . REDUCE también puede compilarse sobre otros lenguajes Lisp, como Common Lisp .

• aritmética de precisión arbitraria con números enteros , racionales , complejos y de punto flotante.
• expresiones y funciones que involucran una o más variables
• algoritmos para polinomios , funciones racionales y trascendentales
• herramientas para la solución de diversas ecuaciones algebraicas
• Simplificación automática y controlada por el usuario de expresiones.
• sustituciones y coincidencia de patrones en una amplia variedad de formas
• diferenciación simbólica , integración indefinida y definida
• solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
• cálculos con una amplia variedad de funciones especiales
• Álgebra matricial general y no conmutativa
• representación gráfica en 2 y 3 dimensiones de
  • gráficas de funciones
  • puntos , líneas y curvas arbitrarias
• Cálculos de la matriz de Dirac de interés en física de altas energías
• Eliminación de cuantificadores y decisión para lógica de primer orden interpretada
• Lenguaje de programación potente, intuitivo y a nivel de usuario .

El lenguaje REDUCE es un lenguaje de programación estructurado de alto nivel basado en ALGOL 60 (pero con semántica de Standard Lisp ), aunque no admite toda la sintaxis de ALGOL 60. Es similar a Pascal , que evolucionó a partir de ALGOL 60, y a Modula , que evolucionó a partir de Pascal.

REDUCE es un lenguaje de formato libre , lo que significa que los espacios y los saltos de línea no son importantes, pero, en consecuencia, las instrucciones de entrada deben estar separadas entre sí y toda entrada debe terminar con un punto y coma ( ;) o un signo de dólar ( $). La diferencia es que si la entrada produce un nilvalor útil (no ), se mostrará si el separador es un punto y coma ( ;), pero se ocultará si es un signo de dólar ( $). El operador de asignación es el operador de dos puntos igual ( :=), que en su uso más simple asigna a la variable de su izquierda el valor de la expresión de su derecha. Sin embargo, una variable REDUCE puede no tener ningún valor, en cuyo caso se muestra como su nombre, para permitir que se construyan y manipulen expresiones matemáticas que involucren indeterminadas. La forma más simple de usar REDUCE es interactivamente: escriba la entrada después de la última solicitud de entrada , termínela con un punto y coma y presione la tecla Intro o Retorno ; REDUCE procesa la entrada y muestra el resultado. Esto se ilustra en la captura de pantalla .

"¡Hola Mundo!" ;

! Hola Mundo !! ;​​​​

Si n < 0, entonces n := - n

recip_x := si x = 0 entonces infinito sino 1 / x

norte := 5 ; fac := 1 $ para r := 2 : n hacer fac := fac * r ; hecho ;

n := 5 ; para r := 2 : n producto r ;

norte := 5 ; fac := n $ mientras n > 1 hacer fac := fac * ( n := n - 1 ); hecho ;

Comentario Este es un comentario de varias líneas. que termina en el siguiente separador, por lo tanto, no puede contener separadores;

% Este es un comentario de una sola línea que termina al final de la línea. % Puede aparecer en una línea después del código y % puede contener los separadores ";" y "$".

/* Este es un comentario de varias líneas que puede aparecer en cualquier lugar donde un espacio pueda y puede contener los separadores ";" y "$". */

El lenguaje de usuario de REDUCE admite varios paradigmas de programación , como se ilustra en los ejemplos de programación algebraica que aparecen a continuación.

Dado que se basa en Lisp, un lenguaje de programación funcional , REDUCE admite la programación funcional y todas las sentencias tienen valores (aunque no siempre son útiles). REDUCE también admite la programación procedimental al ignorar los valores de las sentencias. El cálculo algebraico generalmente se realiza transformando una expresión matemática en una forma equivalente pero diferente. Esto se denomina simplificación , aunque el resultado pueda ser mucho más largo. (El nombre REDUCE es un juego de palabras que alude a este problema de la sobreextensión de las expresiones intermedias ). En REDUCE, la simplificación se produce automáticamente al introducir o calcular una expresión, controlada por reglas y conmutadores de simplificación . De esta forma, REDUCE admite la programación basada en reglas , que es el paradigma de programación clásico de REDUCE. En las primeras versiones de REDUCE, las reglas y los conmutadores solo podían configurarse globalmente, pero la versión moderna de REDUCE también admite la configuración local de reglas y conmutadores, lo que significa que controlan la simplificación de una sola expresión. Los programas REDUCE suelen contener una mezcla de paradigmas de programación.

La captura de pantalla muestra un uso interactivo sencillo.

Como ejemplo sencillo de programación, consideremos el problema de calcular el${\displaystyle n}$polinomio de Taylor ^de la función${\displaystyle f(x)}$sobre el punto${\displaystyle x=a}$, que viene dada por la fórmula${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\frac {f^{(r)}(a)}{r!}}(xa)^{r}}$. Aquí,${\displaystyle f^{(r)}}$denota el${\displaystyle r}$^derivada de​${\displaystyle f}$evaluado en el punto${\displaystyle a}$y${\displaystyle r!}$denota el factorial de${\displaystyle r}$(Sin embargo, tenga en cuenta que REDUCE incluye funciones sofisticadas para la expansión en serie de potencia ).

Como ejemplo de programación funcional en REDUCE, aquí hay una manera fácil de calcular el quinto polinomio de Taylor de${\displaystyle \sin x}$aproximadamente 0. En el siguiente código, la variable de control rtoma valores de 0 a 5 en pasos de 1, dfes el operador de diferenciaciónsub REDUCE y el operador realiza la sustitución de su primer argumento en su segundo. Tenga en cuenta que este código es muy similar a la fórmula matemática anterior (con${\displaystyle n=5}$y${\displaystyle a=0}$).

para r := 0 : 5 suma sub ( x = 0 , df ( sin x , x , r )) * x ^ r / factorial r ;

produce por defecto la salida ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {x\left(x^{4}-20x^{2}+120\right)}{120}}}$

Esto es correcto, pero no se parece mucho a una serie de Taylor. Eso se puede solucionar cambiando algunos interruptores de control de salida y luego evaluando la variable especial ws, que representa el espacio de trabajo y contiene la última expresión de salida no vacía:

desactivado todo ; activado revpri , div ; ws ;

${\displaystyle x-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}}$

Como ejemplo de programación procedimental en REDUCE, aquí se muestra un procedimiento para calcular el polinomio de Taylor general, que funciona para funciones que se comportan bien en el punto de expansión.${\displaystyle a}$.

procedimiento my_taylor ( f , x , x0 , n ); % Devuelve el n-ésimo polinomio de Taylor de f % como una función de x alrededor de x0. begin scalar result := sub ( x = x0 , f ), mul := 1 ; for r := 1 : n do << f := df ( f , x ); mul := mul * ( x - x0 ) / r ; result := result + sub ( x = x0 , f ) * mul >> ; return result end ;

El procedimiento se llama my_taylorporque REDUCE ya incluye un operador llamado taylor. Todo el texto que sigue a un %signo hasta el final de la línea es un comentario. La palabra clave scalarintroduce e inicializa dos variables locales , resulty mul. Las palabras clave beginy enddelimitan un bloque de código que puede incluir variables locales y puede devolver un valor, mientras que los símbolos <<y >>delimitan un grupo de instrucciones sin introducir variables locales.

El procedimiento se puede llamar de la siguiente manera para calcular el mismo polinomio de Taylor que se mencionó anteriormente.

mi_taylor ( sin x , x , 0 , 5 );

Las interfaces gráficas de usuario (GUI) de REDUCE proporcionan soporte de menú para algunas o todas las funciones de gestión de archivos y paquetes que se describen a continuación.

;fin;

inarchivo1 ,archivo2, ...

outarchivo;

shutarchivo;

out t;

load_packagepaquete1 ,paquete2, ...

REDUCE hereda el alcance dinámico de Lisp, lo que significa que los datos tienen tipos, pero las variables en sí no: el tipo de una variable es el tipo de los datos que se le asignan. Los tipos de datos más simples de REDUCE son los tipos atómicos de Standard Lisp , como los identificadores, los números de máquina (es decir, los enteros "pequeños" y los números de punto flotante compatibles directamente con el hardware del ordenador) y las cadenas. La mayoría de los demás tipos de datos de REDUCE se representan internamente como listas de Lisp cuyo primer elemento ( car) indica el tipo de datos. Por ejemplo, la entrada de REDUCE

mat (( 1 , 2 ), ( 3 , 4 ));

produce la pantalla

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}}\right)}$

y la representación interna de esta matriz es la lista Lisp

(mat (1 2) (3 4))

Los principales objetos algebraicos utilizados en REDUCE son cocientes de dos polinomios posiblemente multivariables, cuyas indeterminadas, llamadas núcleos , pueden ser funciones de una o más variables, por ejemplo, la entrada.

z := ( x + y ^ 2 ) / f ( x , y );

produce la pantalla

${\displaystyle z\ \mathrm {:=} \ {\frac {x+y^{2}}{f\left(x,y\right)}}}$

REDUCE utiliza dos representaciones para dichos objetos algebraicos. Una se llama forma prefija , que es simplemente el código Lisp estándar para la expresión y es conveniente para operaciones como entrada y salida; por ejemplo, para${\displaystyle z}$es

(cociente (más x (expt y 2)) (fxy))

La otra se llama forma cociente estándar , que es mejor para realizar manipulaciones algebraicas como la suma; por ejemplo, para${\displaystyle z}$es

(!*sq ((((x . 1) . 1) ((y . 2) . 1)) (((fxy) . 1) . 1)) t)

REDUCE realiza conversiones entre estas dos representaciones según sea necesario, pero intenta conservar la forma de cociente estándar en la medida de lo posible para evitar la sobrecarga de la conversión.

Dado que las variables no tienen tipos, en REDUCE no existen declaraciones de tipo de variable , pero sí declaraciones de ámbito de variable . El ámbito de una variable se refiere al rango de un programa en el que tiene el mismo significado. Por defecto, las variables de REDUCE tienen un ámbito global , lo que significa que tienen el mismo significado en todas partes; es decir, una vez que se le asigna un valor a una variable, se evaluará con ese mismo valor en todas partes. Se puede declarar que el ámbito de las variables se limita a un bloque de código específico delimitando dicho bloque con las palabras clave `<variable>` beginy `<variable> end`, y declarando las variables scalaral inicio del bloque, utilizando la siguiente sintaxis (como se ilustra en los ejemplos de programación algebraica anteriores):

beginscalarvariable1 , variable2 , ...; declaracionesend

Cada variable declarada de esta manera puede ir seguida opcionalmente de un operador de asignación ( :=) y un valor inicial. La palabra clave scalardebe interpretarse como «local» . (El motivo del nombre «scalar» se encuentra en la historia de REDUCE, pero probablemente se eligió para distinguir las variables locales de los 4-vectores relativistas y las matrices gamma de Dirac definidas en el paquete de física de altas energías , que fue el núcleo original de REDUCE. ^{[ 2 ]} )

La scalarpalabra clave puede reemplazarse por integero real. La diferencia radica en que integerlas variables se inicializan por defecto a 0, mientras que las variables scalary realse inicializan por defecto al valor Lisp nil(que de todos modos tiene el valor algebraico 0). Esta distinción es más significativa en el lenguaje de implementación de REDUCE, RLISP, también conocido como modo simbólico o Lisp . De lo contrario, resulta útil como documentación del uso previsto de las variables locales.

Hay otras dos declaraciones de variables que se utilizan únicamente en la implementación de REDUCE, es decir, en modo simbólico. El bloque REDUCE begin... descrito anteriormente se traduce a una forma Standard Lisp mediante el analizador sintáctico de REDUCE , y todas las variables Standard Lisp deben estar vinculadas en formas, o declaradas como o . En RLISP, estas declaraciones se ven así:endprogprogglobalfluid

fluid '(variable1 variable2 ... )global '(variable1 variable2 ...)

Una globalvariable no se puede reasignar en un progformulario, mientras que una fluidvariable sí. Esta distinción normalmente solo es significativa para un compilador de Lisp y se utiliza para maximizar la eficiencia; en el código interpretado estas declaraciones se pueden omitir y las variables no declaradas son efectivamente fluid.

REDUCE admite la visualización gráfica mediante gnuplot , un paquete gráfico portátil de código abierto independiente incluido en todas las distribuciones binarias de REDUCE. El paquete REDUCE GNUPLOT permite visualizar curvas o superficies definidas por fórmulas o conjuntos de datos mediante el comando plot(... ). Este comando expone algunas, pero no todas, las funcionalidades de gnuplot. Los paquetes REDUCE TURTLE y LOGOTURTLE se basan en el paquete REDUCE GNUPLOT y admiten gráficos de tortuga en dos dimensiones; el paquete LOGOTURTLE también expone funcionalidades adicionales de gnuplot, como el control del color y el grosor de la línea, el relleno y las anotaciones de texto.

REDUCE está disponible en SourceForge . Se publican distribuciones binarias ^{[ 1 ]} varias veces al año sin un calendario fijo como instantáneas del repositorio Subversion , y también ofrecen instantáneas de archivo comprimido del código fuente completo. SourceForge se puede configurar para notificar a los usuarios cuando haya una nueva versión disponible. En 2024, se publicaron distribuciones binarias para versiones de 64 bits de macOS , Linux ( sistemas basados ​​en Debian y Red Hat ) y Microsoft Windows . Los instaladores incluyen o están disponibles para CSL-REDUCE y PSL-REDUCE, y pueden incluir el código fuente de REDUCE. REDUCE se puede compilar a partir del código fuente en una gama más amplia de plataformas y en otros sistemas Lisp, como Common Lisp . ^{[ 5 ]}

Los siguientes proyectos utilizan REDUCE:

• ALLTYPES ^{[ 6 ]} (Lenguaje ALgebraico y Sistema de Tipos) es un sistema de tipos de álgebra computacional con especial énfasis en el álgebra diferencial y las ecuaciones diferenciales;
• DAISY ^{[ 7 ]} (Álgebra diferencial para la identificabilidad de sistemas) es una herramienta de software para realizar análisis de identificabilidad estructural para modelos dinámicos lineales y no lineales descritos por ecuaciones EDO polinómicas o racionales;
• MTT ^{[ 8 ]} (Herramientas de Transformación de Modelos) es un conjunto de herramientas para modelar sistemas físicos dinámicos utilizando la metodología de grafos de enlaces;
• Reduce.jl ^{[ 9 ]} es un analizador simbólico para la reescritura de términos del lenguaje Julia utilizando el álgebra REDUCE;
• Redlog ^{[ 10 ]} (REDUCE Logic System) proporciona más de 100 funciones en fórmulas de primer orden y originalmente era independiente, pero ahora está disponible como un paquete REDUCE;
• Pure es un lenguaje de programación que cuenta con enlaces para REDUCE, lo que proporciona un entorno muy interesante para realizar ciencia asistida por ordenador.

• Lista de sistemas de álgebra computacional
• ALTRAN
• REDUCE se reúne con CAMAL - JP Fitch

• REDUCIR en SourceForge
• Anthony C. Hearn et al., Manual del usuario de REDUCE [ HTML | PDF ].
• Anthony C. Hearn, "REDUCE: Los primeros cuarenta años" . Ponencia invitada presentada en la Conferencia A3L en honor al 60 cumpleaños de Volker Weispfenning, abril de 2005.
• Andrey Grozin, "Interfaz TeXmacs-Reduce" , abril de 2012.