Ecuación de diferencias racionales

WLoG, la cantidad similar a un determinante${\displaystyle ad-bc\neq 0}$y esto se puede ver fácilmente al notar que, con una división tanto en el numerador como en el denominador en la ecuación ( 2 ) , siempre se puede establecer${\displaystyle c=1}$, en cuyo caso, si${\displaystyle ad-bc=0}$, entonces el numerador y el denominador se cancelarán, sin dejar ninguna ecuación de diferencias, sino que se reducirán por completo hasta convertirse exactamente en la constante.${\displaystyle a}$. Por lo tanto, un enfoque ^{[ 7 ]} para desarrollar la variable transformada${\displaystyle x_{t}}$, es escribir

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

dónde${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ y${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$y dónde${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$.

Más textos ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$se puede demostrar que produce

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

El enfoque anterior ya es de aplicabilidad general. El siguiente enfoque ^{[ 8 ]} proporciona una ecuación de diferencias de primer orden para${\displaystyle x_{t}}$en lugar de uno de segundo orden. Dejemos${\displaystyle r^{2}=(da)^{2}+4bc}$. Para el caso en que${\displaystyle r^{2}\geqslant 0}$, cada término será de valor real y este método puede ser conveniente de usar. De lo contrario, el método sigue funcionando, pero aparecerán números complejos y podría ser más conveniente intentar un ansatz trigonométrico en su lugar. Sustituyendo${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$, lo cual implica${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$Sustituyendo en la ecuación ( 2 ) , encontramos que siempre es posible hacer${\displaystyle x_{t}}$evolucionan según la ecuación de diferencias lineal simple no homogénea de primer orden.

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

al elegir${\displaystyle \eta }$de tal manera que${\displaystyle c\eta ^{2}-(da)\eta -b=0}$y está claro que esto siempre se puede hacer en cualquiera de las dos opciones.${\displaystyle \eta _{\pm }={\frac {da\pm r}{2c}}}$, incluso cuando${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$

La ecuación

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

También se puede resolver tratándola como un caso especial de la ecuación matricial más general.

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

donde A, B, C, E y X son matrices n × n (en este caso n = 1); la solución de esto es ^{[ 9 ].}

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$