Rango de una partición

En teoría de números y combinatoria , el rango de una partición entera es un número determinado asociado a dicha partición. De hecho, en la literatura aparecen al menos dos definiciones diferentes de rango. La primera, que es la que se aborda principalmente en este artículo, establece que el rango de una partición es el número que se obtiene al restar el número de partes de la partición a la parte más grande de la misma. Este concepto fue introducido por Freeman Dyson en un artículo publicado en la revista Eureka . ^{[ 1 ]} Se presentó en el contexto de un estudio de ciertas propiedades de congruencia de la función de partición descubiertas por el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan . En combinatoria se utiliza un concepto diferente, con el mismo nombre, donde el rango se define como el tamaño del cuadrado de Durfee de la partición.

Por partición de un entero positivo n entendemos un multiconjunto finito λ = { λ _k , λ _{k − 1} , . . . , λ ₁ } de enteros positivos que satisfacen las dos condiciones siguientes:

• λ _k ≥ . . . ≥ λ ₂ ≥ λ ₁ > 0.
• λ _k + . . . + λ ₂ + λ ₁ = norte .

Si λ _k , . . . , λ ₂ , λ ₁ son distintos, es decir, si

• λ _k > . . . > λ ₂ > λ ₁ > 0

Entonces, la partición λ se denomina partición estricta de n . Los enteros λ _k , λ _{k − 1} , ..., λ ₁ son las partes de la partición. El número de partes en la partición λ es k y la parte más grande en la partición es λ _k . El rango de la partición λ (ya sea ordinaria o estricta) se define como λ _k − k . ^{[ 1 ]}

Los rangos de las particiones de n toman los siguientes valores y ningún otro: ^{[ 1 ]}

n − 1, n − 3, n − 4, . . . , 2, 1, 0, − 1, − 2, . . . , − ( n − 4), − ( n − 3), − ( n − 1).

La siguiente tabla muestra la clasificación de las distintas particiones del número 5.

Las siguientes notaciones se utilizan para especificar cuántas particiones tienen un rango determinado. Sean n y q enteros positivos y m cualquier entero.

• El número total de particiones de n se denota por p ( n ).
• El número de particiones de n con rango m se denota por N ( m , n ).
• El número de particiones de n con rango congruente con m módulo q se denota por N ( m , q , n ).
• El número de particiones estrictas de n se denota por Q ( n ).
• El número de particiones estrictas de n con rango m se denota por R ( m , n ).
• El número de particiones estrictas de n con rango congruente con m módulo q se denota por T ( m , q , n ).

Por ejemplo,

p (5) = 7 , N (2, 5) = 1 , N (3, 5) = 0 , N (2, 2, 5) = 5 .

Q (5) = 3 , R (2, 5) = 1 , R (3, 5) = 0 , T (2, 2, 5) = 2.

Sean n y q enteros positivos y m cualquier entero. ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle N(m,n)=N(-m,n)}$
• ${\displaystyle N(m,q,n)=N(qm,q,n)}$
• ${\displaystyle N(m,q,n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }N(m+rq,n)}$

Srinivasa Ramanujan en un artículo publicado en 1919 demostró las siguientes congruencias que involucran la función de partición p ( n ): ^{[ 2 ]}

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Al comentar este resultado, Dyson señaló que «…aunque podemos demostrar que las particiones de 5n + 4 se pueden dividir en cinco subclases igualmente numerosas, es insatisfactorio no obtener de las demostraciones una idea concreta de cómo se debe realizar la división. Requerimos una demostración que no recurra a funciones generadoras…» ^{[ 1 ]} Dyson introdujo la idea del rango de una partición para lograr la tarea que se propuso. Utilizando esta nueva idea, formuló las siguientes conjeturas:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N (4, 5, 5 n + 4)
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = . . . = N (6, 7, 7 n + 5)

Estas conjeturas fueron demostradas por Atkin y Swinnerton-Dyer en 1954. ^{[ 3 ]}

Las siguientes tablas muestran cómo las particiones de los enteros 4 (5  × n + 4 con n = 0) y 9 (5 × n + 4 con n = 1) se dividen en cinco subclases igualmente numerosas.           

La función generadora$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$de p ( n ) fue descubierto por Leonhard Euler . ^{[ 4 ]} La función generadora para Q ( n ) es ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}.}$$ Las funciones generadoras para N ( m , n ) y R ( m , n ) son   $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})(1-z^{-1}q^{k})}}}$$ y $${\displaystyle \sum _{m,n=0}^{\infty }R(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}},}$$ respectivamente. ^{[ 6 ] [ 5 ]}

En combinatoria, la frase rango de una partición se usa a veces para describir un concepto diferente: el rango de una partición λ es el entero más grande i tal que λ tiene al menos i partes, cada una de las cuales no es menor que i . ^{[ 7 ]} De manera equivalente, esta es la longitud de la diagonal principal en el diagrama de Young o el diagrama de Ferrers para λ , o la longitud del lado del cuadrado de Durfee de λ .

La tabla de rangos (bajo esta definición alternativa) de particiones de 5 se muestra a continuación.

• Fórmulas asintóticas para la función de partición de rango: ^{[ 8 ]}
• Congruencias para la función de rango: ^{[ 9 ]}
• Generalización del rango al rango BG: ^{[ 10 ]}

• Manivela de una partición