Grupo de permutación de rango 3

En la teoría matemática de grupos finitos , un grupo de permutaciones de rango 3 actúa transitivamente sobre un conjunto de tal manera que el estabilizador de un punto tiene 3 órbitas . El estudio de estos grupos fue iniciado por Higman ( 1964 , 1971 ) . Varios de los grupos simples esporádicos fueron descubiertos como grupos de permutaciones de rango 3. 

Todos los grupos de permutación primitivos de rango 3 pertenecen a una de las siguientes clases:

• Cameron (1981) clasificó los que de tal manera que${\displaystyle T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$donde el socle T de T ₀ es simple, y T ₀ es un grupo 2-transitivo de grado √ n .
• Liebeck (1987) clasificó a los que tenían un subgrupo normal abeliano elemental regular.
• Bannai (1971–72) clasificó aquellos cuyo soclo es un grupo alternante simple
• Kantor y Liebler (1982) clasificaron aquellos cuyo socle es un grupo clásico simple.
• Liebeck y Saxl (1986) clasificaron aquellos cuyo socle es un grupo excepcional simple o esporádico.

Si G es cualquier grupo 4-transitivo que actúa sobre un conjunto S , entonces su acción sobre pares de elementos de S es un grupo de permutación de rango 3. ^{[ 1 ]} En particular, la mayoría de los grupos alternantes, grupos simétricos y grupos de Mathieu tienen acciones 4-transitivas, por lo que pueden convertirse en grupos de permutación de rango 3.

El grupo lineal general proyectivo que actúa sobre líneas en un espacio proyectivo de dimensión al menos 3 es un grupo de permutaciones de rango 3.

Varios grupos de 3 transposiciones son grupos de permutaciones de rango 3 (en la acción sobre transposiciones).

Es común que el estabilizador puntual de un grupo de permutación de rango 3 que actúa sobre una de las órbitas sea un grupo de permutación de rango 3. Esto da lugar a varias "cadenas" de grupos de permutación de rango 3, como la cadena de Suzuki y la cadena que termina con los grupos de Fischer .

A continuación se enumeran algunos grupos de permutaciones inusuales de rango 3 (muchos de ellos procedentes de ( Liebeck y Saxl 1986 ) ).

En cada fila de la tabla siguiente, en la cuadrícula de la columna marcada como "tamaño", el número a la izquierda del signo igual indica el grado del grupo de permutación correspondiente. En la cuadrícula, la suma a la derecha del signo igual muestra las longitudes de las tres órbitas del estabilizador de un punto del grupo de permutación. Por ejemplo, la expresión 15 = 1+6+8 en la primera fila de la tabla, bajo el encabezado, significa que el grupo de permutación de la primera fila tiene grado 15, y las longitudes de las tres órbitas del estabilizador de un punto del grupo de permutación son 1, 6 y 8, respectivamente.

• Bannai, Eiichi (1971–72), "Subgrupos maximales de bajo rango de grupos simétricos y alternantes finitos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 18 : 475–486 , ISSN 0040-8980 , MR 0357559  
• Brouwer, AE; Cohen, AM; Neumaier, Arnold (1989), Gráficos regulares a distancia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], vol.  18, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5, MR 1002568 
• Cameron, Peter J. (1981), "Grupos de permutación finitos y grupos simples finitos", The Bulletin of the London Mathematical Society , 13 (1): 1– 22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628 , doi : 10.1112/blms/13.1.1 , ISSN 0024-6093 , MR 0599634   
• Higman, Donald G. (1964), "Grupos de permutación finitos de rango 3" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 86 (2): 145– 156, doi : 10.1007/BF01111335 , hdl : 2027.42/46298 , ISSN 0025-5874 , SEÑOR 0186724 , S2CID 51836896   
• Higman, Donald G. (1971), "Un estudio de algunas preguntas y resultados sobre grupos de permutación de rango 3" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Niza, 1970) , vol.  1, Gauthier-Villars, pp. 361–365 , MR 0427435 , archivado del original el 25/11/2017 , recuperado el 26/11/2010.  
• Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), "Las representaciones de permutación de rango 3 de los grupos clásicos finitos" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 271 (1): 1–71 , doi : 10.2307/1998750 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1998750 , MR 0648077   
• Liebeck, Martin W. (1987), "Los grupos de permutación afines de rango tres", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 54 (3): 477– 516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735 , doi : 10.1112/plms/s3-54.3.477 , ISSN 0024-6115 , MR 0879395   
• Liebeck, Martin W.; Saxl , Jan (1986), "Los grupos de permutación primitivos finitos de rango tres", The Bulletin of the London Mathematical Society , 18 (2): 165–172 , doi : 10.1112/blms/18.2.165 , ISSN 0024-6093 , MR 0818821