Modelo de utilidad aleatoria

En economía , un modelo de utilidad aleatoria ( RUM ), ^{[1] [2]} también llamado modelo de utilidad estocástica , ^[3] es una descripción matemática de las preferencias de una persona, cuyas elecciones no son deterministas, sino que dependen de una variable de estado aleatoria.

Un supuesto básico de la economía clásica es que las elecciones de una persona racional están guiadas por una relación de preferencia , que normalmente puede describirse mediante una función de utilidad . Cuando se enfrenta a varias alternativas, la persona elegirá la alternativa que ofrezca la mayor utilidad. La función de utilidad no es visible; sin embargo, al observar las elecciones que hace la persona, podemos realizar una "ingeniería inversa" de su función de utilidad. Este es el objetivo de la teoría de la preferencia revelada . ^{[ cita requerida ]}

En la práctica, sin embargo, las personas no son racionales. Hay abundantes evidencias empíricas que demuestran que, ante el mismo conjunto de alternativas, las personas pueden tomar decisiones diferentes. ^{[4] [5] [6] [7] [8]} Para un observador externo, sus decisiones pueden parecer aleatorias.

Una forma de modelar este comportamiento se denomina racionalidad estocástica . Se supone que cada agente tiene un estado no observado , que puede considerarse una variable aleatoria. Dado ese estado, el agente se comporta racionalmente. En otras palabras: cada agente tiene, no una única relación de preferencia, sino una distribución de relaciones de preferencia (o funciones de utilidad). ^{[ cita requerida ]}

Block y Marschak ^[9] plantearon el siguiente problema. Supongamos que se nos da como entrada un conjunto de probabilidades de elección P _a,B , que describe la probabilidad de que un agente elija la alternativa a del conjunto B . Queremos racionalizar el comportamiento del agente mediante una distribución de probabilidad sobre relaciones de preferencia. Es decir: queremos encontrar una distribución tal que, para todos los pares a,B dados en la entrada, P _a,B = Prob[a es débilmente preferida a todas las alternativas en B]. ¿Qué condiciones en el conjunto de probabilidades P _a,B garantizan la existencia de tal distribución? ^{[ cita requerida ]}

Falmagne ^[10] resolvió este problema para el caso en que el conjunto de alternativas es finito: demostró que existe una distribución de probabilidad si y solo si un conjunto de polinomios derivados de las probabilidades de elección, denominados polinomios de Block-Marschak, son no negativos. Su solución es constructiva y proporciona un algoritmo para calcular la distribución.

Barbera y Pattanaik ^[11] extienden este resultado a entornos en los que el agente puede elegir conjuntos de alternativas, en lugar de solo alternativas únicas.

Block y Marschak ^[9] demostraron que, cuando hay como máximo 3 alternativas, el modelo de utilidad aleatoria es único ("identificado"); sin embargo, cuando hay 4 o más alternativas, el modelo puede no ser único. ^[11] Por ejemplo, ^[12] podemos calcular la probabilidad de que el agente prefiera w a x (w>x), y la probabilidad de que y>z, pero no podemos saber la probabilidad de que tanto w>x como y>z. Incluso hay distribuciones con soportes disjuntos, que inducen el mismo conjunto de probabilidades de elección.

Falmagne ^[10] proporcionó algunas condiciones de unicidad . Turansick ^[13] presenta dos caracterizaciones para la existencia de una representación de utilidad aleatoria única.

Existen varios RUM, que difieren en los supuestos sobre las distribuciones de probabilidad de la utilidad del agente. Un RUM popular fue desarrollado por Luce ^[14] y Plackett. ^[15]

El modelo de Plackett-Luce se aplicó en econometría , ^[16] por ejemplo, para analizar los precios de los automóviles en equilibrio de mercado . ^[17] También se aplicó en aprendizaje automático y recuperación de información . ^[18] También se aplicó en elección social , para analizar una encuesta de opinión realizada durante las elecciones presidenciales irlandesas . ^[19] Existen métodos eficientes para la maximización de expectativas y la propagación de expectativas para el modelo de Plackett-Luce. ^{[20] [21] [22]}

Los RUM se pueden utilizar no solo para modelar el comportamiento de un solo agente, sino también para la toma de decisiones entre una sociedad de agentes. ^[23] Un enfoque de la elección social , formalizado por primera vez por el teorema del jurado de Condorcet , es que existe una "verdad fundamental": una verdadera clasificación de las alternativas. Cada agente de la sociedad recibe una señal ruidosa de esta verdadera clasificación. La mejor forma de abordar la verdad fundamental es utilizando la estimación de máxima verosimilitud : construir una clasificación social que maximice la probabilidad del conjunto de clasificaciones individuales.

El modelo original de Condorcet supone que las probabilidades de los errores de los agentes en las comparaciones por pares son independientes y se distribuyen de forma idéntica : todos los errores tienen la misma probabilidad p . Este modelo tiene varias desventajas:

• No tiene en cuenta la fuerza de las preferencias expresadas por los agentes. Un agente que prefiere una opción "mucho más que" b y un agente que prefiere una opción "un poco más que b" reciben el mismo trato.
• Permite preferencias cíclicas. Existe una probabilidad positiva de que un agente prefiera a a b, b a c y c a a.
• El estimador de máxima verosimilitud, que es el método Kemeny-Young , es difícil de calcular (es -completo). ^[24]$Estilo de visualización: Theta _{2}^{P}}$

El modelo RUM ofrece un modelo alternativo: existe un vector de utilidades basado en la verdad fundamental; cada agente obtiene una utilidad para cada alternativa, basándose en una distribución de probabilidad cuyo valor medio es la verdad fundamental. Este modelo captura la fuerza de las preferencias y descarta las preferencias cíclicas. Además, para algunas distribuciones de probabilidad comunes (en particular, el modelo de Plackett-Luce), los estimadores de máxima verosimilitud se pueden calcular de manera eficiente. ^{[ cita requerida ]}

Walker y Ben-Akiva ^[25] generalizan el RUM clásico de varias maneras, con el objetivo de mejorar la precisión de los pronósticos:

• Perturbaciones flexibles : permiten una estructura de covarianza más rica , estimando heterogeneidad no observada y parámetros aleatorios;
• Variables latentes : representan explícitamente la formación y los efectos de constructos invisibles, como percepciones y actitudes;
• Clases latentes: captura de segmentación oculta en términos de parámetros de gusto, conjuntos de opciones y protocolos de decisión;
• Combinación de preferencias reveladas y preferencias declaradas: para combinar las ventajas de estos dos tipos de datos.

Blavatzkyy ^[26] estudia la teoría de utilidad estocástica basada en elecciones entre loterías. La entrada es un conjunto de probabilidades de elección , que indican la probabilidad de que el agente elija una lotería en lugar de la otra.