Interferometría de Ramsey

La interferometría de Ramsey , también conocida como método de campos oscilantes separados , ^[1] es una forma de interferometría de partículas que utiliza el fenómeno de la resonancia magnética para medir las frecuencias de transición de las partículas. Fue desarrollada en 1949 por Norman Ramsey , ^[2] quien se basó en las ideas de su mentor, Isidor Isaac Rabi , quien inicialmente desarrolló una técnica para medir las frecuencias de transición de partículas. El método de Ramsey se utiliza hoy en día en los relojes atómicos y en la definición del segundo del SI . La mayoría de las mediciones atómicas de precisión, como los interferómetros atómicos modernos y las puertas lógicas cuánticas, tienen una configuración de tipo Ramsey. ^[3] Un método más moderno, conocido como interferometría de Ramsey-Bordé , utiliza una configuración de Ramsey y fue desarrollado por el físico francés Christian Bordé y se conoce como interferómetro de Ramsey-Bordé. La idea principal de Bordé era utilizar el retroceso atómico para crear un divisor de haz de diferentes geometrías para una onda atómica. El interferómetro Ramsey-Bordé utiliza específicamente dos pares de ondas de interacción que se propagan en sentido contrario, y otro método llamado "eco de fotón" utiliza dos pares de ondas de interacción que se propagan en sentido contrario. ^{[4] [5]}

Un objetivo principal de la espectroscopia de precisión de un átomo de dos niveles es medir la frecuencia de absorción entre el estado fundamental |↓⟩ y el estado excitado |↑⟩ del átomo. Una forma de lograr esta medición es aplicar un campo electromagnético oscilante externo a la frecuencia y luego encontrar la diferencia (también conocida como desafinación) entre y midiendo la probabilidad de transferir |↓⟩ a |↑⟩ . Esta probabilidad se puede maximizar cuando Δ = 0 , cuando el campo impulsor está en resonancia con la frecuencia de transición del átomo. Mirando esta probabilidad de transición como una función de la desafinación P (Δ) , cuanto más estrecho sea el pico alrededor de , más precisión habrá. Si el pico fuera muy amplio alrededor de Δ = 0 , entonces sería difícil distinguir con precisión dónde se encuentra Δ = 0 debido a que muchos valores de Δ tienen una probabilidad cercana a la misma. ^[3]${\displaystyle \omega _{0}}$${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle (\Delta =\omega -\omega _ {0})}$${\displaystyle \Delta =0}$

Una versión simplificada del método de Rabi consiste en un haz de átomos, todos con la misma velocidad y la misma dirección, enviados a través de una zona de interacción de longitud . Los átomos son átomos de dos niveles con una energía de transición de (esto se define aplicando un campo en una dirección de excitación , y por lo tanto , la frecuencia de Larmor ), y con un tiempo de interacción de en la zona de interacción. En la zona de interacción, se aplica un campo magnético oscilante monocromático perpendicular a la dirección de excitación, y esto conducirá a oscilaciones de Rabi entre |↓⟩ y |↑⟩ a una frecuencia de . ^{[3] [6]}${\displaystyle v}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{\|}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$${\displaystyle \omega _{0}=\gamma |\mathbf {B} _{\|}|}$${\displaystyle \tau =L/v}$${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }\cos(\omega t)}$${\displaystyle \Omega _{\perp }=\gamma |\mathbf {B} _{\perp }|}$

El hamiltoniano en el marco rotatorio (incluida la aproximación de onda rotatoria ) es

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma _{z}}}+{\frac {\hbar \Omega _{\perp }}{2}}{\hat {\sigma _{x}}}.}$

La probabilidad de transición de |↓⟩ y |↑⟩ se puede encontrar a partir de este hamiltoniano y es

${\displaystyle P(\Delta ,v,L,\Omega _{\perp })={\frac {1}{1+\left({\frac {\Delta }{\Omega _{\perp }}}\right)^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {L}{2v}}{\sqrt {\Omega _{\perp }^{2}+\Delta ^{2}}}\right).}$

Esta probabilidad será máxima cuando . El ancho de línea de este vs. determina la precisión de la medición. Porque , al aumentar o , y correspondientemente disminuir de modo que su producto sea , la precisión de la medición aumenta; es decir, el pico del gráfico se vuelve más estrecho. ${\displaystyle \Omega _{\perp }\tau =\pi }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle P(\Delta ,\Omega _{\perp })}$${\displaystyle \Delta /\Omega _{\perp }}$${\displaystyle \delta \sim \Omega _{\perp }\sim \pi /\tau \sim \pi v/L}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega _{\perp }}$${\displaystyle \pi }$

En realidad, sin embargo, las inhomogeneidades como que los átomos tengan una distribución de velocidades o que exista una inhomogeneidad harán que la forma de la línea se ensanche y conduzca a una disminución de la precisión. Tener una distribución de velocidades significa tener una distribución de tiempos de interacción y, por lo tanto, habría muchos ángulos a través de los cuales los vectores de estado se voltearían en la esfera de Bloch . Habría una longitud óptima en la configuración de Rabi que daría la mayor precisión, pero no sería posible aumentar la longitud infinitamente y esperar una precisión cada vez mayor, como era el caso en el modelo de Rabi perfecto y simple. ^[3]${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$${\displaystyle L}$

Ramsey mejoró el método de Rabi al dividir la zona de interacción en dos zonas de interacción muy cortas, cada una de las cuales aplica un pulso. Las dos zonas de interacción están separadas por una zona de no interacción mucho más larga. Al hacer que las dos zonas de interacción sean muy cortas, los átomos pasan mucho menos tiempo en presencia de los campos electromagnéticos externos de lo que pasarían en el modelo de Rabi. Esto es ventajoso porque cuanto más tiempo estén los átomos en la zona de interacción, más inhomogeneidades (como un campo no homogéneo) conducen a una precisión reducida en la determinación de . La zona de no interacción en el modelo de Ramsey puede hacerse mucho más larga que la zona de interacción en el método de Rabi porque no se aplica un campo perpendicular en la zona de no interacción (aunque todavía hay ). ^[2]${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {B} _{\|}}$

La principal mejora con respecto al método de Ramsey es que la frecuencia de resonancia máxima principal representa un promedio de las frecuencias (y las inhomogeneidades) en la región de no interacción entre las cavidades, mientras que con el método de Rabi las inhomogeneidades en la región de interacción conducen a un ensanchamiento de las líneas. Una ventaja adicional del método de Ramsey para las transiciones ópticas o de microondas es que la región de no interacción se puede hacer mucho más larga que una región de interacción con el método de Rabi, lo que da como resultado líneas más estrechas.

El hamiltoniano en el marco rotatorio para las dos zonas de interacción es el mismo para el del método de Rabi, y en la zona de no interacción el hamiltoniano es solo el término. Primero se aplica un pulso a los átomos en el estado fundamental, con lo cual los átomos alcanzan la zona de no interacción, y los espines precesan alrededor del  eje z durante un tiempo . Se aplica otro pulso y se mide la probabilidad; prácticamente este experimento debe realizarse muchas veces, porque una medición no será suficiente para determinar la probabilidad de medir cualquier valor (ver la descripción de la esfera de Bloch a continuación). Al aplicar esta evolución a átomos de una velocidad, la probabilidad de encontrar el átomo en el estado excitado como una función de la desafinación y el tiempo de vuelo en la zona de no interacción es (tomando aquí) ${\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |\Delta |\ll \Omega _{\perp }}$

${\displaystyle P(T,\Delta )=\cos ^{2}\left({\frac {\Delta T}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\Delta L}{2v}}\right).}$

Esta función de probabilidad describe las conocidas franjas de Ramsey .

Si hay una distribución de velocidades y se aplica un "pulso duro" en las zonas de interacción de modo que todos los espines de los átomos roten en la esfera de Bloch independientemente de si todos fueron excitados o no exactamente a la misma frecuencia de resonancia, las franjas de Ramsey se verán muy similares a las discutidas anteriormente. Si no se aplica un pulso duro, entonces se debe tener en cuenta la variación en los tiempos de interacción. ¿Qué resultados son las franjas de Ramsey en una envolvente en forma de probabilidad del método de Rabi para átomos de una velocidad? El ancho de línea de las franjas en este caso es lo que determina la precisión con la que se puede determinar y es ${\displaystyle \left(|\Delta |\ll \Omega _{\perp }\right)}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \delta \sim {\frac {1}{T}}\sim {\frac {v}{L}}.}$

Aumentando el tiempo de vuelo en la zona de no interacción, o equivalentemente aumentando la longitud de la zona de no interacción, el ancho de la línea se puede mejorar sustancialmente, por un factor de 10 o más, con respecto a otros métodos. ^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$

Como el modelo de Ramsey permite un tiempo de observación más largo, se puede determinar con mayor precisión . Esta es una declaración del principio de incertidumbre tiempo-energía: cuanto mayor sea la incertidumbre en el dominio del tiempo, menor será la incertidumbre en el dominio de la energía o, equivalentemente, en el dominio de la frecuencia. Pensado de otra manera, si dos ondas de casi exactamente la misma frecuencia se superponen entre sí, será imposible distinguirlas si la resolución de nuestros ojos es mayor que la diferencia entre las dos ondas. Solo después de un largo período de tiempo la diferencia entre dos ondas será lo suficientemente grande como para diferenciarlas. ^[3]${\displaystyle \omega _{0}}$

Los primeros interferómetros de Ramsey utilizaban dos zonas de interacción separadas en el espacio, pero también es posible utilizar dos pulsos separados en el tiempo, siempre que sean coherentes. En el caso de pulsos separados en el tiempo, cuanto mayor sea el tiempo entre pulsos, más precisa será la medición. ^[2]

Un reloj atómico es fundamentalmente un oscilador cuya frecuencia coincide con la de una transición atómica de un átomo de dos niveles, . El oscilador es el campo electromagnético externo paralelo en la zona de no interacción del interferómetro de Ramsey-Bordé. Al medir la tasa de transición del estado excitado al estado fundamental, se puede sintonizar el oscilador de modo que se encuentre la frecuencia que produce la tasa de transición máxima. Una vez que se sintoniza el oscilador, se puede contar electrónicamente el número de oscilaciones del oscilador para dar un cierto intervalo de tiempo (por ejemplo, el segundo SI , que es 9.192.631.770 períodos de un átomo de cesio-133). ^[2]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$

Serge Haroche ganó el Premio Nobel de Física en 2012 (con David J. Wineland ^[7] ) por un trabajo que involucraba electrodinámica cuántica de cavidades (QED) en el que el grupo de investigación utilizó fotones de frecuencia de microondas para verificar la descripción cuántica de los campos electromagnéticos. ^[8] Esencial para sus experimentos fue el interferómetro de Ramsey, que utilizaron para demostrar la transferencia de coherencia cuántica de un átomo a otro a través de la interacción con un modo cuántico en una cavidad. La configuración es similar a un interferómetro de Ramsey regular, con diferencias clave: hay una cavidad cuántica en la zona de no interacción y la segunda zona de interacción tiene su fase de campo desplazada por alguna constante relativa a la primera zona de interacción.

Si se envía un átomo a la configuración en su estado fundamental y se pasa a través de la primera zona de interacción, el estado se convertiría en una superposición de estados fundamental y excitado , tal como lo haría con un interferómetro de Ramsey regular. Luego pasa a través de la cavidad cuántica, que inicialmente contiene solo un vacío, y luego se mide como o . Luego se envía un segundo átomo inicialmente en a través de la cavidad y luego a través de la segunda zona de interacción de Ramsey desfasada. Si se mide que el primer átomo está en , entonces la probabilidad de que el segundo átomo esté en depende de la cantidad de tiempo entre el envío del primer y el segundo átomo. La razón fundamental para esto es que si se mide que el primer átomo está en , entonces hay un solo modo del campo electromagnético dentro de la cavidad que posteriormente afectará el resultado de la medición del segundo átomo. ^[8]${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\downarrow \right\rangle +\left|\uparrow \right\rangle \right)}$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

Las primeras interpretaciones de los interferómetros atómicos, incluidas las de Ramsey, utilizaban una descripción clásica del movimiento de los átomos, pero Bordé introdujo una interpretación que utilizaba una descripción cuántica del movimiento de los átomos. Estrictamente hablando, el interferómetro de Ramsey no es un interferómetro en el espacio real porque los patrones de franjas se desarrollan debido a cambios del pseudoespín del átomo en el espacio atómico interno. Sin embargo, se podría argumentar que el interferómetro de Ramsey es un interferómetro en el espacio real pensando en el movimiento atómico cuánticamente: las franjas pueden considerarse como el resultado del impulso de momento impartido a los átomos por la desintonización . ^[4]${\displaystyle \Delta }$

El problema que Bordé et al. ^[5] intentaron resolver en 1984 era el de la promediación de las franjas de Ramsey de los átomos cuyas frecuencias de transición se encontraban en el rango óptico. Cuando esto sucedía, los desplazamientos Doppler de primer orden hacían que las franjas de Ramsey desaparecieran debido a la dispersión introducida en las frecuencias. Su solución fue tener cuatro zonas de interacción de Ramsey en lugar de dos, cada zona compuesta por una onda viajera pero que seguía aplicando un pulso. Las dos primeras ondas viajan en la misma dirección, y las dos segundas viajan en la dirección opuesta a la primera y la segunda. Hay dos poblaciones que resultan de la interacción de los átomos primero con las dos primeras zonas y luego con las dos segundas. La primera población consiste en átomos cuyo desfase inducido por Doppler se ha cancelado, lo que da lugar a las conocidas franjas de Ramsey. El segundo está formado por átomos cuyo desfase inducido por Doppler se ha duplicado y cuyas franjas de Ramsey han desaparecido por completo (esto se conoce como "eco de fotones estimulado hacia atrás", y su señal se vuelve cero después de integrarse en todas las velocidades). ${\displaystyle \pi /2}$

La geometría de interacción de dos pares de ondas contrapropagantes que Bordé et al. introdujeron permite una mejor resolución de la espectroscopia de frecuencias en el rango óptico, como las de Ca e I ₂ . ^[5]

En concreto, sin embargo, el interferómetro de Ramsey-Bordé es un interferómetro atómico que utiliza esta geometría de cuatro ondas viajeras y el fenómeno del retroceso atómico. ^[9] En la notación de Bordé, |a⟩ es el estado fundamental y |b⟩ es el estado excitado. Cuando un átomo entra en cualquiera de las cuatro zonas de interacción, la función de onda del átomo se divide en una superposición de dos estados, donde cada estado se describe mediante una energía específica y un momento específico: |α,m _α ⟩ , donde α es a o b. El número cuántico m _α es el número de cuantos de momento de luz que se han intercambiado desde el momento inicial, donde es el vector de onda del láser. Esta superposición se debe a la energía y el momento intercambiados entre el láser y el átomo en las zonas de interacción durante los procesos de absorción/emisión. Debido a que inicialmente hay una onda atómica, después de que el átomo haya pasado por tres zonas se encuentra en una superposición de ocho estados diferentes antes de llegar a la zona de interacción final. ${\displaystyle \hbar |\mathbf {k} |}$${\displaystyle \mathbf {k} }$

Si se observa la probabilidad de transición a |b⟩ después de que el átomo haya pasado por la cuarta zona de interacción, se encontraría una dependencia de la desafinación en forma de franjas de Ramsey, pero debido a la diferencia en dos caminos mecánicos cuánticos. Después de integrar todas las velocidades, solo hay dos caminos mecánicos cuánticos de circuito cerrado que no se integran a cero, y esos son el camino |a, 0⟩ y |b, –1⟩ y el camino |a, 2⟩ y |b, 1⟩ , que son los dos caminos que conducen a las intersecciones del diagrama en la cuarta zona de interacción. El interferómetro de onda atómica formado por cualquiera de estos dos caminos conduce a una diferencia de fase que depende tanto de parámetros internos como externos, es decir, depende de las distancias físicas por las que están separadas las zonas de interacción y del estado interno del átomo, así como de los campos externos aplicados. Otra forma de pensar en estos interferómetros en el sentido tradicional es que para cada camino hay dos brazos, cada uno de los cuales está denotado por el estado atómico.

Si se aplica un campo externo para rotar o acelerar los átomos, se producirá un cambio de fase debido a la fase de De Broglie inducida en cada brazo del interferómetro, y esto se traducirá en un cambio en las franjas de Ramsey. En otras palabras, el campo externo cambiará los estados de momento, lo que provocará un cambio en el patrón de franjas, que se puede detectar. Como ejemplo, aplique el siguiente hamiltoniano de un campo externo para rotar los átomos en el interferómetro:

${\displaystyle {\hat {H}}_{R}=-\mathbf {\Omega } \cdot \left({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\right).}$

Este hamiltoniano conduce a un operador de evolución temporal de primer orden en : ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{R}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int dt'[\mathbf {\Omega } \times {\hat {\mathbf {r} }}(t')]\cdot [\mathbf {p_{0}} +m_{\alpha }\hbar \mathbf {k} ]\right).}$

Si es perpendicular a , entonces el factor de fase de ida y vuelta para una oscilación está dado por , donde es la longitud de todo el aparato desde la primera zona de interacción hasta la zona de interacción final. Esto producirá una probabilidad tal que ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}(t')}$${\displaystyle \exp \left(2ik\Omega d^{2}/v\right)}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle P\propto \cos \left[\left(\Delta +{\frac {2\pi \Omega d}{\lambda }}+\phi \right){\frac {2d}{v}}\right],}$

donde es la longitud de onda de la transición atómica de dos niveles. Esta probabilidad representa un cambio de un factor de ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \delta v={\frac {\Omega d}{\lambda }}.}$

Para un átomo de calcio en la superficie de la Tierra que gira a , usando y observando la transición, el desplazamiento en las franjas sería , lo cual es un efecto medible. ${\textstyle \Omega =\pi /12{\text{ hours}}}$${\displaystyle 2d=21{\text{ cm}}}$${\displaystyle \lambda =657.3{\text{ nm}}}$${\displaystyle \delta v\approx 12{\text{ Hz}}}$

Se puede calcular un efecto similar para el desplazamiento de las franjas de Ramsey provocado por la aceleración de la gravedad. Los desplazamientos de las franjas invertirán su dirección si se invierten las direcciones de los láseres en las zonas de interacción, y el desplazamiento se cancelará si se utilizan ondas estacionarias.

El interferómetro de Ramsey-Bordé ofrece la posibilidad de mejorar las mediciones de frecuencia en presencia de campos externos o rotaciones. ^[9]