Problema de Rabi

El problema de Rabi se ocupa de la respuesta de un átomo a un campo eléctrico armónico aplicado , con una frecuencia aplicada muy cercana a la frecuencia natural del átomo . Proporciona un ejemplo simple y generalmente solucionable de interacciones entre luz y átomo y recibe su nombre de Isidor Isaac Rabi .

En el enfoque clásico, el problema de Rabi se puede representar mediante la solución del oscilador armónico amortiguado impulsado con la parte eléctrica de la fuerza de Lorentz como término impulsor:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{a}+{\frac {2}{\tau _{0}}}{\dot {x}}_{a}+\omega _{a}^{ 2}x_{a}={\frac {e}{m}}E(t,\mathbf {r} _{a}),}$

donde se ha supuesto que el átomo puede ser tratado como una partícula cargada (de carga e ) que oscila alrededor de su posición de equilibrio alrededor de un átomo neutro. Aquí x _a es su magnitud instantánea de oscilación, su frecuencia de oscilación natural y su tiempo de vida natural: ${\displaystyle \omega_{a}}$${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle {\frac {2}{\tau _{0}}}={\frac {2e^{2}\omega _{a}^{2}}{3mc^{3}}},}$

que se ha calculado basándose en la pérdida de energía del oscilador dipolar por la radiación electromagnética.

Para aplicar esto al problema de Rabi, se supone que el campo eléctrico E es oscilatorio en el tiempo y constante en el espacio:

${\displaystyle E=E_{0}[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}]=2E_{0}\cos \omega t,}$

y x _a se descompone en una parte u _a que está en fase con el campo E de conducción (correspondiente a la dispersión) y una parte v _a que está desfasada (correspondiente a la absorción):

${\displaystyle x_{a}=x_{0}(u_{a}\cos \omega t+v_{a}\sin \omega t).}$

Aquí se supone que x ₀ es constante, pero se permite que u _a y v _a varíen en el tiempo. Sin embargo, si el sistema está muy cerca de la resonancia ( ), entonces estos valores variarán lentamente en el tiempo y podemos suponer que , y , . ${\displaystyle \omega \approx \omega _{a}}$${\displaystyle {\dot {u}}_{a}\ll \omega u_{a}}$${\displaystyle {\dot {v}}_{a}\ll \omega v_ {a}}$${\displaystyle {\ddot {u}}_{a}\ll \omega ^{2}u_{a}}$${\displaystyle {\ddot {v}}_{a}\ll \omega ^{2}v_{a}}$

Con estos supuestos, las ecuaciones de fuerza de Lorentz para las partes en fase y fuera de fase se pueden reescribir como

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v-{\frac {u}{T}},}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u-{\frac {v}{T}}+\kappa E_{0},}$

donde hemos reemplazado la vida útil natural por una vida útil efectiva más general T (que podría incluir otras interacciones como colisiones) y hemos eliminado el subíndice a en favor de la desintonización recientemente definida , que sirve igualmente bien para distinguir átomos de diferentes frecuencias de resonancia. Finalmente, la constante ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _ {a}}$

${\displaystyle \kappa \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {e}{m\omega x_{0}}}}$

Se ha definido.

Estas ecuaciones se pueden resolver de la siguiente manera:

${\displaystyle u(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (tt')e^{-(tt')/T},}$

${\displaystyle v(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (tt')e^{-(tt')/T}.}$

Una vez que todos los transitorios han desaparecido, la solución de estado estable toma la forma simple

${\displaystyle x_{a}(t)={\frac {e}{m}}E_{0}\left({\frac {e^{i\omega t}}{\omega _{a}^{2}-\omega ^{2}+2i\omega /T}}+{\text{cc}}\right),}$

donde "cc" representa el conjugado complejo del término opuesto.

El problema clásico de Rabi proporciona algunos resultados básicos y una imagen fácil de entender del problema, pero para comprender fenómenos como la inversión , la emisión espontánea y el desplazamiento de Bloch-Siegert , es necesario un tratamiento completamente mecánico-cuántico .

El enfoque más sencillo es el de la aproximación atómica de dos niveles , en la que sólo se tratan dos niveles de energía del átomo en cuestión. En realidad, no existe ningún átomo con sólo dos niveles de energía, pero una transición entre, por ejemplo, dos estados hiperfinos en un átomo puede tratarse, en primera aproximación, como si sólo existieran esos dos niveles, suponiendo que el impulso no esté demasiado alejado de la resonancia.

La conveniencia del átomo de dos niveles es que cualquier sistema de dos niveles evoluciona esencialmente de la misma manera que un sistema de espín 1/2 , de acuerdo con las ecuaciones de Bloch , que definen la dinámica del vector pseudoespín en un campo eléctrico:

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v,}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u+\kappa Ew,}$

${\displaystyle {\dot {w}}=-\kappa Ev,}$

donde hemos realizado la aproximación de onda rotatoria arrojando términos con alta velocidad angular (y por lo tanto pequeño efecto en la dinámica de giro total durante largos períodos de tiempo) y transformados en un conjunto de coordenadas que giran a una frecuencia . ${\estilo de visualización \omega}$

Existe aquí una clara analogía entre estas ecuaciones y las que definieron la evolución de los componentes en fase y fuera de fase de la oscilación en el caso clásico. Ahora, sin embargo, hay un tercer término w , que puede interpretarse como la diferencia de población entre el estado excitado y el fundamental (que varía de −1 para representar completamente en el estado fundamental a +1, completamente en el estado excitado). Hay que tener en cuenta que para el caso clásico, había un espectro de energía continuo que el oscilador atómico podía ocupar, mientras que para el caso cuántico (como hemos supuesto) solo hay dos estados (propios) posibles del problema.

Estas ecuaciones también pueden enunciarse en forma matricial:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\delta &0\\\delta &0&\kappa E\\0&-\kappa E&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}.}$

Es de destacar que estas ecuaciones se pueden escribir como una ecuación de precesión vectorial :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\rho } }{dt}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\rho } ,}$

donde es el vector pseudo-spin y actúa como un torque efectivo. ${\displaystyle \mathbf {\rho } =(u,v,w)}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } =(-\kappa E,0,\delta )}$

Como antes, el problema de Rabi se resuelve suponiendo que el campo eléctrico E es oscilatorio con magnitud constante E ₀ : . En este caso, la solución se puede encontrar aplicando dos rotaciones sucesivas a la ecuación matricial anterior, de la forma ${\displaystyle E=E_{0}(e^{i\omega t}+{\text{cc}})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \chi &0&\sin \chi \\0&1&0\\-\sin \chi &0&\cos \chi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \Omega t&\sin \Omega t\\0&-\sin \Omega t&\cos \Omega t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u''\\v''\\w''\end{bmatrix}},}$

dónde

${\displaystyle \tan \chi ={\frac {\delta }{\kappa E_{0}}},}$

${\displaystyle \Omega (\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}}}.}$

Aquí la frecuencia se conoce como frecuencia de Rabi generalizada , que da la tasa de precesión del vector pseudo-espín sobre el eje u ' transformado (dado por la primera transformación de coordenadas anterior). Como ejemplo, si el campo eléctrico (o láser ) está exactamente en resonancia (tal que ), entonces el vector pseudo-espín precesará sobre el eje u a una tasa de . Si este pulso (en resonancia) se ilumina sobre una colección de átomos originalmente todos en su estado fundamental ( w = −1) durante un tiempo , luego del pulso, los átomos ahora estarán todos en su estado excitado ( w = +1) debido a la rotación (o 180°) sobre el eje u . Esto se conoce como un pulso - y tiene el resultado de una inversión completa. ${\displaystyle \Omega (\delta )}$${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \kappa E_{0}}$${\displaystyle \Delta t=\pi /\kappa E_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

El resultado general viene dado por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}&-{\frac {\delta }{\Omega }}\sin {\Omega t}&-{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)\\{\frac {\delta }{\Omega }}\sin \Omega t&\cos \Omega t&{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin \Omega t\\{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)&-{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin {\Omega t}&{\frac {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{bmatrix}}.}$

La expresión para la inversión w se puede simplificar en gran medida si se supone que el átomo está inicialmente en su estado fundamental ( w ₀ = −1) con u ₀ = v ₀ = 0, en cuyo caso

${\displaystyle w(t;\delta )=-1+{\frac {2(\kappa E_{0})^{2}}{(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right).}$

En el enfoque cuántico, la fuerza impulsora periódica puede considerarse como una perturbación periódica y, por lo tanto, el problema puede resolverse utilizando la teoría de perturbación dependiente del tiempo, con

${\displaystyle H(t)=H^{0}+H^{1}(t),}$

donde es el hamiltoniano independiente del tiempo que proporciona los estados propios originales, y es la perturbación dependiente del tiempo. Supongamos que en el momento , podemos expandir el estado como ${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{1}(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi (t)=\sum _{n}d_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ,}$

donde representa los estados propios de los estados no perturbados. Para un sistema no perturbado, es una constante. Ahora, calculemos bajo una perturbación periódica . ^{[ Aclaración necesaria ]} Aplicando el operador en ambos lados de la ecuación anterior, podemos obtener ${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle d_{n}(t)=d_{n}(0)}$${\displaystyle d_{n}(t)}$${\displaystyle H^{1}(t)=H^{1}e^{-i\omega t}}$${\displaystyle i\hbar \partial /\partial t-H^{0}-H^{1}}$

${\displaystyle 0=\sum _{n}[i\hbar {\dot {d}}_{n}-H^{1}e^{-i\omega t}d_{n}]e^{-iE_{n}^{0}t/\hbar }|n\rangle ,}$

y luego multiplica ambos lados de la ecuación por : ${\displaystyle \langle m|e^{iE_{m}^{0}t/\hbar }}$

${\displaystyle i\hbar {\dot {d}}_{m}=\sum _{n}\langle m|H^{1}|n\rangle e^{i(\omega _{mn}-\omega )t}d_{n}.}$

Cuando la frecuencia de excitación está en resonancia entre dos estados y , es decir , se convierte en un problema de modo normal de un sistema de dos niveles, y es fácil encontrar que ${\displaystyle |m\rangle }$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle \omega =\omega _{mn}}$

${\displaystyle d_{m,n}(t)=d_{m,n,+}(0)e^{i\Omega t}+d_{m,n,-}(0)e^{-i\Omega t},}$

dónde${\displaystyle \Omega ={\frac {\langle m|H^{1}|n\rangle }{\hbar }}.}$

La probabilidad de estar en el estado m en el tiempo t es

${\displaystyle P_{m}=d_{m}(t)^{*}d_{m}(t)=d_{m,-}^{2}(0)+d_{m,+}^{2}(0)+2d_{m,-}(0)d_{m,+}(0)\cos(2\Omega t).}$

El valor de depende de la condición inicial del sistema. ${\displaystyle d_{m,\pm }(0)}$

Rabi (1937) resuelve con exactitud un sistema de espín 1/2 en un campo magnético oscilante. De su trabajo se desprende que la frecuencia de oscilación de Rabi es proporcional a la magnitud del campo magnético oscilante.

En el enfoque de Bloch, el campo no está cuantificado y ni la coherencia resultante ni la resonancia están bien explicadas.

Es necesario trabajar ^{[ aclarar ]} el enfoque QFT, principalmente el modelo Jaynes-Cummings .

• Ciclo de Rabi
• Frecuencia de Rabi
• Oscilación de vacío de Rabi

• Allen, L; Eberly, JH (1987). Resonancia óptica y átomos de dos niveles . Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-65533-8.OCLC 17233252  .

• Rabi, II (15 de abril de 1937). "Cuantización espacial en un campo magnético giratorio". Physical Review . 51 (8). American Physical Society (APS): 652– 654. Bibcode :1937PhRv...51..652R. doi :10.1103/physrev.51.652. ISSN  0031-899X.