Función cuasicontinua

En matemáticas , la noción de función cuasicontinua es similar a la de función continua , pero menos precisa . Todas las funciones continuas son cuasicontinuas, pero lo contrario no es cierto en general.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico . Una función de valor real${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$es cuasicontinua en un punto${\displaystyle x\in X}$si por alguna razón${\displaystyle \epsilon >0}$y cualquier vecindario abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$Hay un conjunto abierto no vacío${\displaystyle G\subset U}$de tal manera que

${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G}$

Tenga en cuenta que en la definición anterior no es necesario que${\displaystyle x\in G}$.

• Si${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$es continuo entonces${\displaystyle f}$es cuasi-continuo
• Si${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$es continuo y${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }$es cuasi-continua, entonces${\displaystyle f+g}$es cuasi-continua.

Consideremos la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x)=0}$cuando sea${\displaystyle x\leq 0}$y${\displaystyle f(x)=1}$cuando sea${\displaystyle x>0}$Claramente, f es continua en todas partes excepto en x=0, por lo tanto, cuasicontinua en todas partes excepto (como máximo) en x=0. En x=0, tomemos cualquier entorno abierto U de x. Entonces existe un conjunto abierto${\displaystyle G\subset U}$de tal manera que${\displaystyle y<0\;\forall y\in G}$. Claramente esto produce ${\displaystyle |f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G}$Por lo tanto, f es cuasicontinua.

Por el contrario, la función ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle g(x)=0}$cuando sea${\displaystyle x}$es un número racional y${\displaystyle g(x)=1}$cuando sea${\displaystyle x}$es un número irracional no es cuasicontinuo en ningún lugar, ya que todo conjunto abierto no vacío${\displaystyle G}$contiene algunos${\displaystyle y_{1},y_{2}}$con${\displaystyle |g(y_{1})-g(y_{2})|=1}$.

• Función de camarilla

• Ján Borsík (2007–2008). "Puntos de continuidad, cuasicontinuidad, exclusividad y cuasicontinuidad superior e inferior" . Real Analysis Exchange . 33 (2): 339–350 .
• T. Neubrunn (1988). "Cuasi-continuidad". Real Analysis Exchange . 14 (2): 259– 308. doi : 10.2307/44151947 . JSTOR 44151947 .