Paseo cuántico

Consideremos la dinámica de una partícula cuántica libre no relativista y sin espín con masa${\displaystyle m}$propagándose en un dominio espacial unidimensional infinito. El movimiento de la partícula se describe completamente mediante su función de onda.${\displaystyle \psi (x,t):\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {C} }$que satisface la ecuación de Schrödinger unidimensional de partícula libre

${\displaystyle {\textbf {i}}\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}}$

dónde${\displaystyle {\textbf {i}}={\sqrt {-1}}}$y${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida . Ahora supongamos que solo la parte espacial del dominio está discretizada, ${\displaystyle \mathbb {R} }$siendo reemplazado por${\displaystyle \mathbb {Z} _{\Delta x}\equiv \{\ldots ,-2\,\Delta x,-\Delta x,0,\Delta x,2\,\Delta x,\ldots \}}$ dónde${\displaystyle \Delta x}$es la separación entre los sitios espaciales que la partícula puede ocupar. La función de onda se convierte en el mapa${\displaystyle \psi$ :\mathbb {Z} _{\Delta x}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {C} } y la segunda derivada parcial espacial se convierte en el laplaciano discreto

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\to {\frac {L_{\mathbb {Z} }\psi (j\,\Delta x,t)}{\Delta x^{2}}}\equiv {\frac {\psi \left((j+1)\,\Delta x,t\right)-2\psi \left(j\,\Delta x,t\right)+\psi \left((j-1)\,\Delta x,t\right)}{\Delta x^{2}}}}$

La ecuación de evolución para un paseo cuántico en tiempo continuo${\displaystyle \mathbb {Z} _ {\Delta x}}$es así

${\displaystyle {\textbf {i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-\omega _{\Delta x}L_{\mathbb {Z} }\psi }$

dónde${\displaystyle \omega _{\Delta x}\equiv \hbar /2m\,\Delta x^{2}}$es una frecuencia característica. Esta construcción se generaliza naturalmente al caso en que el dominio espacial discretizado es un grafo arbitrario.${\displaystyle G=(V,E)}$y el laplaciano discreto${\displaystyle L_{\mathbb {Z} }}$es reemplazado por el laplaciano del grafo${\displaystyle L_{G}\equiv D_{G}-A_{G}}$dónde${\displaystyle D_{G}}$y${\displaystyle A_{G}}$son la matriz de grados y la matriz de adyacencia , respectivamente. Las opciones comunes de grafos que aparecen en el estudio de caminatas cuánticas de tiempo continuo son las redes d -dimensionales.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$gráficos de ciclo${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$, toros discretos d -dimensionales${\displaystyle (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{d}}$, el hipercubo d- dimensional${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}}$y gráficos aleatorios.

La evolución de un paseo cuántico en tiempo discreto se especifica mediante el producto de dos operadores unitarios: (1) un operador de "lanzamiento de moneda" y (2) un operador de desplazamiento condicional, que se aplican repetidamente. El siguiente ejemplo es instructivo aquí. ^{[ 8 ]} Imaginemos una partícula con un grado de libertad de espín 1/2 que se propaga en una matriz lineal de sitios discretos. Si el número de dichos sitios es infinito numerable, identificamos el espacio de estados con${\displaystyle \mathbb {Z} }$El estado de la partícula puede entonces describirse mediante un estado producto.

${\displaystyle |\Psi \rangle =|s\rangle \otimes |\psi \rangle }$

que consiste en un estado de espín interno

${\displaystyle |s\rangle \in {\mathcal {H}}_{C}=\left\{a_{\uparrow }|{\uparrow }\rangle +a_{\downarrow }|{\downarrow }\rangle :a_{\uparrow /\downarrow }\in \mathbb {C} \right\}}$

y un estado de posición

${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{P}=\left\{\sum _{x\in \mathbb {Z} }\alpha _{x}|x\rangle$ :\sum _{x\in \mathbb {Z} }|\alpha _{x}|^{2}<\infty \right\}}

dónde${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}=\mathbb {C} ^{2}}$es el "espacio de monedas" y${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}=\ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$es el espacio de estados de posición cuántica física. El producto${\displaystyle \otimes }$En este contexto, el producto de Kronecker (tensorial) es el operador de desplazamiento condicional para el paseo cuántico en la línea.

${\displaystyle S={\bigl (}|{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|{\bigr )}\otimes {\Bigl (}\sum \limits _{i}|{i+1}\rangle \langle {i}|{\Bigr )}+{\bigl (}|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|{\bigr )}\otimes {\Bigl (}\sum \limits _{i}|{i-1}\rangle \langle {i}|{\Bigr )},}$

es decir, la partícula salta a la derecha si tiene espín hacia arriba y a la izquierda si tiene espín hacia abajo. Explícitamente, el operador de desplazamiento condicional actúa sobre los estados del producto de acuerdo con

${\displaystyle S(|{\uparrow }\rangle \otimes |i\rangle )=|{\uparrow }\rangle \otimes |i+1\rangle }$

${\displaystyle S(|{\downarrow }\rangle \otimes |i\rangle )=|{\downarrow }\rangle \otimes |i-1\rangle }$

Si primero rotamos el espín con alguna transformación unitaria${\displaystyle C:{\mathcal {H}}_{C}\to {\mathcal {H}}_{C}}$y luego aplicar${\displaystyle S}$, obtenemos un movimiento cuántico no trivial en${\displaystyle \mathbb {Z} }$Una opción popular para dicha transformación es la puerta Hadamard.${\displaystyle C=H}$, que, con respecto a la base de espín estándar de componente z , tiene representación matricial

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\;\;1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

Cuando se elige este operador de lanzamiento de moneda, el operador en sí se llama "moneda de Hadamard" y el paseo cuántico resultante se llama "paseo de Hadamard". Si el caminante se inicializa en el origen y en el estado de espín hacia arriba, un solo paso de tiempo del paseo de Hadamard en${\displaystyle \mathbb {Z} }$es

${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \otimes |0\rangle \;\,{\overset {H}{\longrightarrow }}\;\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle +|{\downarrow }\rangle )\otimes |0\rangle \;\,{\overset {S}{\longrightarrow }}\;\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle \otimes |1\rangle +|{\downarrow }\rangle \otimes |{-1}\rangle ).}$

La medición del estado del sistema en este punto revelaría un giro hacia arriba en la posición 1 o un giro hacia abajo en la posición −1, ambos con probabilidad 1/2. Repetir el procedimiento correspondería a una caminata aleatoria simple clásica en${\displaystyle \mathbb {Z} }$Para observar el movimiento no clásico, no se realiza ninguna medición sobre el estado en este punto (y por lo tanto no se fuerza un colapso de la función de onda). En su lugar, repita el procedimiento de rotación del espín con el operador de lanzamiento de moneda y salto condicional con${\displaystyle S}$De esta forma, se conservan las correlaciones cuánticas y los diferentes estados de posición pueden interferir entre sí. Esto da una distribución de probabilidad drásticamente diferente a la del paseo aleatorio clásico (distribución gaussiana), como se ve en la figura de la derecha. Espacialmente se observa que la distribución no es simétrica: aunque la moneda de Hadamard da espín hacia arriba y hacia abajo con igual probabilidad, la distribución tiende a desplazarse hacia la derecha cuando el espín inicial es${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$Esta asimetría se debe enteramente al hecho de que la moneda de Hadamard trata el${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$y${\displaystyle |{\downarrow }\rangle }$estado asimétricamente. Una distribución de probabilidad simétrica surge si el estado inicial se elige de forma asimétrica.

${\displaystyle |\Psi _{0}^{\text{symm}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle -{\textbf {i}}|{\downarrow }\rangle )\otimes |0\rangle }$