Modelo de rotor cuántico

El modelo de rotor cuántico es un modelo matemático para un sistema cuántico. Puede visualizarse como una matriz de electrones en rotación que se comportan como rotores rígidos que interactúan mediante fuerzas magnéticas dipolo-dipolo de corto alcance originadas por sus momentos dipolares magnéticos (despreciando las fuerzas de Coulomb ). El modelo se diferencia de modelos de espín similares, como el modelo de Ising y el modelo de Heisenberg, en que incluye un término análogo a la energía cinética .

Aunque los rotores cuánticos elementales no existen en la naturaleza, el modelo puede describir grados de libertad efectivos para un sistema de un número suficientemente pequeño de electrones estrechamente acoplados en estados de baja energía. ^{[ 1 ]}

Supongamos que el vector de posición (orientación) n -dimensional del modelo en un sitio dado es${\displaystyle i}$es${\displaystyle \mathbf {n} }$Entonces, podemos definir el momento del rotor.${\displaystyle \mathbf {p} }$por la relación de conmutación de componentes${\displaystyle \alpha,\beta}$

${\displaystyle [n_{\alpha },p_{\beta }]=i\delta _{\alpha \beta }}$

Sin embargo, se considera conveniente ^{[ 1 ]} utilizar operadores de momento angular del rotor.${\displaystyle \mathbf {L} }$definido (en 3 dimensiones) por componentes${\displaystyle L_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }n_{\beta }p_{\gamma }}$

Entonces, las interacciones magnéticas entre los rotores cuánticos, y por lo tanto sus estados de energía, pueden describirse mediante el siguiente hamiltoniano :

${\displaystyle H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\mathbf {L} _{i}^{2}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}}$

dónde${\displaystyle J,{\bar {g}}}$son constantes. . La suma de interacción se toma sobre los vecinos más cercanos, como lo indican los corchetes angulares. Para valores muy pequeños y muy grandes${\displaystyle {\bar {g}}}$, el hamiltoniano predice dos configuraciones distintas ( estados fundamentales ), a saber, rotores ordenados "magnéticamente" y rotores desordenados o " paramagnéticos ", respectivamente. ^{[ 1 ]}

Las interacciones entre los rotores cuánticos pueden describirse mediante otro hamiltoniano (equivalente), que trata a los rotores no como momentos magnéticos sino como corrientes eléctricas locales. ^{[ 2 ]}

En dimensiones superiores, el hamiltoniano se puede definir como

${\displaystyle H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\Delta _{i}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}}$

dónde${\displaystyle \Delta _{i}}$es el operador de Laplace-Beltrami en la esfera${\displaystyle S^{n}}$. Es exactamente soluble en el límite de n grande . ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Una de las características importantes del modelo de rotor es la simetría continua O(N) y, por lo tanto, la correspondiente ruptura continua de simetría en el estado magnéticamente ordenado. En un sistema con dos capas de espines de Heisenberg${\displaystyle \mathbf {S} _{1i}}$y${\displaystyle \mathbf {S} _ {2i}}$, el modelo de rotor aproxima los estados de baja energía de un antiferromagneto de Heisenberg, con el hamiltoniano

${\displaystyle H_{d}=K\sum _{i}\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{2i}+J\sum _{\langle ij\rangle }\left(\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{1j}+\mathbf {S} _{2i}\cdot \mathbf {S} _ {2j}\right)}$

utilizando la correspondencia${\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {S} _{1i}+\mathbf {S} _{2i}}$^{[ 1 ]}

El caso particular del modelo de rotor cuántico con simetría O(2) puede utilizarse para describir una matriz superconductora de uniones Josephson o el comportamiento de bosones en redes ópticas . ^{[ 4 ]} Otro caso específico de simetría O(3) es equivalente a un sistema de dos capas (bicapa) de un antiferromagneto de Heisenberg cuántico; también puede describir ferromagnetos de Hall cuántico de doble capa . ^{[ 4 ]} Asimismo, se puede demostrar que la transición de fase para el modelo de rotor bidimensional tiene la misma clase de universalidad que la de los modelos de espín de Heisenberg antiferromagnéticos . ^{[ 5 ]}

• Modelo cuántico de Heisenberg
• modelo de N vectores
• Modelo clásico de Heisenberg
• Modelo XY clásico
• modelo de Ising