Concentración cuántica

La concentración cuántica n _Q es la concentración de partículas (es decir, el número de partículas por unidad de volumen) de un sistema donde la distancia entre partículas es igual a la longitud de onda térmica de De Broglie .

Los efectos cuánticos se vuelven apreciables cuando la concentración de partículas es mayor o igual que la concentración cuántica, que se define como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle n_{\rm {Q}}=\left({\frac {Mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}$

dónde:

• M es la masa de las partículas en el sistema.
• ${\displaystyle k_{B}}$es la constante de Boltzmann
• T es la temperatura medida en kelvin.
• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida

La concentración cuántica para protones a temperatura ambiente es de aproximadamente 1/angstrom cúbico.

Como la concentración cuántica depende de la temperatura, las altas temperaturas harán que la mayoría de los sistemas se encuentren en el límite clásico, a menos que tengan una densidad muy alta, por ejemplo, una enana blanca .

Para un gas ideal, la ecuación de Sackur-Tetrode se puede escribir en términos de la concentración cuántica como ^{[ 1 ].}

${\displaystyle S(T,V,N)=Nk_{\rm {B}}\left[{\frac {5}{2}}+\ln \left({\frac {n_{\rm {Q}}}{n}}\right)\right]}$

La concentración cuántica se puede derivar de la función de partición canónica de una partícula de gas ideal con el hamiltoniano de partícula libre . Para una sola partícula en una caja de volumen${\displaystyle V}$La función de partición en el límite clásico se obtiene integrando sobre todos los estados de momento:

${\displaystyle Z_{\text{ideal, monoatómico}}={\frac {1}{h^{3}}}\int d^{3}{\vec {r}}\int d^{3}{\vec {p}}\,e^{-\beta {\vec {p}}^{2}/2m}}$

dónde${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$,${\displaystyle m}$es la masa de la partícula, y${\displaystyle h}$es la constante de Planck. El factor${\displaystyle 1/h^{3}}$explica la densidad cuántica de estados en el espacio de fases.

La integral espacial da el volumen${\displaystyle V}$, mientras que la integral de momento se evalúa en coordenadas esféricas:

${\displaystyle Z_{\text{ideal, monoatómico}}=V\left({\frac {1}{h^{3}}}\right)\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{\infty }p^{2}\,dp\,e^{-\beta p^{2}/2m}}$

Las integrales angulares dan${\displaystyle 4\pi }$y la integral de momento radial es una integral gaussiana estándar :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }p^{2}\,e^{-\beta p^{2}/2m}dp={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta ^{3}}}}(2m)^{3/2}}$

Combinando estos resultados:

${\displaystyle Z_{\text{ideal, monoatómico}}=V\left({\frac {1}{h^{3}}}\right)(4\pi )\cdot {\frac {1}{2}}\left({\frac {2\pi m}{\beta }}\right)^{3/2}=V\left({\frac {2\pi mk_{B}T}{h^{2}}}\right)^{3/2}}$

La concentración cuántica se define como el coeficiente con unidades de volumen inverso que relaciona la función de partición con el volumen:

${\displaystyle Z_{\text{ideal, monoatómico}}=V\cdot n_{Q}}$

${\displaystyle n_{Q}\equiv \left({\frac {2\pi mk_{B}T}{h^{2}}}\right)^{3/2}=\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}$

Tenga en cuenta que, cuando${\displaystyle n>n_{Q}}$Tendremos cuantización de la energía y la aproximación del gas ideal ya no será válida.