Modulación de densidad de pulsos

La modulación por densidad de pulsos ( PDM ) es una forma de modulación que se utiliza para representar una señal analógica con una señal binaria . En una señal PDM, los valores de amplitud específicos no se codifican en palabras clave de pulsos de diferente peso, como ocurriría en la modulación por codificación de pulsos (PCM); en cambio, la densidad relativa de los pulsos corresponde a la amplitud de la señal analógica.

Un convertidor digital-analógico (DAC) de 1 bit es un ejemplo de aplicación PDM.

En un flujo de bits de modulación de densidad de pulsos , un${\displaystyle 1}$corresponde a un pulso de polaridad positiva (${\displaystyle +A}$), y un${\displaystyle 0}$corresponde a un pulso de polaridad negativa (${\displaystyle -A}$). Matemáticamente, esto se puede representar como

${\displaystyle x[n]=-A(-1)^{a[n]},}$

dónde${\displaystyle x[n]}$es el flujo de bits bipolar (ya sea${\displaystyle -A}$o${\displaystyle +A}$), y${\displaystyle a[n]}$es el flujo de bits binario correspondiente (ya sea${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$).

Una carrera que consta de todos${\displaystyle 1}$s correspondería al valor de amplitud máximo (positivo), todos${\displaystyle 0}$s correspondería al valor de amplitud mínimo (negativo) y alternando${\displaystyle 1}$arena${\displaystyle 0}$s correspondería a un valor de amplitud cero. La forma de onda de amplitud continua se recupera mediante el filtrado de paso bajo del flujo de bits PDM bipolar.

Un único período de la función seno trigonométrica , muestreado 100 veces y representado como un flujo de bits PDM, es:

0101011011110111111111111111111110111111011011010101001001000000100000000000000000000001000010010101

Dos periodos de una onda sinusoidal de mayor frecuencia se verían así:

010110111111111111101101010010000000000000100010011011101111111111111011010100100000000000000100101

En la modulación por densidad de pulsos , se produce una alta densidad de 1s en los picos de la onda sinusoidal, mientras que se produce una baja densidad de 1s en los valles de la onda sinusoidal.

Un flujo de bits PDM se codifica a partir de una señal analógica mediante un proceso de modulación delta-sigma de 1 bit . Este proceso utiliza un cuantificador de un bit que produce un 1 o un 0 según la amplitud de la señal analógica. Un 1 o un 0 corresponde a una señal que está completamente arriba o completamente abajo, respectivamente. Dado que en el mundo real las señales analógicas rara vez están completamente en una dirección, existe un error de cuantificación, que es la diferencia entre el 1 o el 0 y la amplitud real que representa. Este error se retroalimenta negativamente en el bucle del proceso ΔΣ. De esta manera, cada error influye sucesivamente en todas las demás mediciones de cuantificación y sus errores. Esto tiene el efecto de promediar el error de cuantificación, mientras que el ruido lo moldea para desplazar la mayor parte del error de cuantificación hacia frecuencias más altas, que para las señales de audio serían ultrasónicas .

La decimación es necesaria para convertir una señal PDM desde su frecuencia de muestreo muy alta (por ejemplo, algunos micrófonos PDM pueden muestrear entre 1  MHz y 3,25  MHz) a la frecuencia de muestreo PCM mucho más baja (que para audio puede oscilar entre 16  kHz y 48  kHz). ^{[ 1 ]}

Los componentes de frecuencia de interés, por ejemplo, el rango de frecuencias de audio, son mucho más bajos que la alta frecuencia de muestreo del PDM. Por lo tanto, el proceso de convertir una señal PDM en una analógica es simple: solo hay que pasar la señal PDM a través de un filtro de paso bajo . ^{[ 2 ]} Debido a que el modulador delta-sigma había desplazado la mayor parte del ruido de cuantificación a frecuencias más altas, el filtrado de paso bajo elimina el ruido de cuantificación de alta frecuencia mientras conserva la señal de interés de baja frecuencia.

La modulación por ancho de pulso (PWM) es un caso especial de PDM donde la frecuencia de conmutación es fija y todos los pulsos correspondientes a una muestra son contiguos en la señal digital. El método de demodulación a una señal analógica sigue siendo el mismo, pero la representación de una señal del 50% con una resolución de 8 bits, una forma de onda PWM se activará durante 128 ciclos de reloj y luego se desactivará durante los 128 ciclos restantes. Con PDM y la misma frecuencia de reloj, la señal alternaría entre activada y desactivada en cada ciclo alterno. El promedio obtenido por un filtro de paso bajo es el 50% del nivel máximo de la señal para ambas formas de onda, pero la señal PDM conmuta con mayor frecuencia. Para un nivel del 100% o del 0%, son iguales, con la señal permanentemente activada o desactivada, respectivamente.

Cabe destacar que una de las formas en que los sistemas nerviosos animales representan la información sensorial y de otro tipo es mediante la codificación de frecuencia , donde la magnitud de la señal se relaciona con la frecuencia de disparo de la neurona sensorial. De forma análoga, cada evento neuronal —llamado potencial de acción— representa un bit (pulso), y la frecuencia de disparo de la neurona representa la densidad del pulso.  

El siguiente modelo digital de modulación por densidad de pulsos se puede obtener a partir de un modelo digital de un modulador delta-sigma de 1 bit de primer orden . Consideremos una señal${\displaystyle x[n]}$en el dominio del tiempo discreto como entrada a un modulador delta-sigma de primer orden, con${\displaystyle y[n]}$la salida. En el dominio de frecuencia discreta , donde se ha aplicado la transformada Z a la serie temporal de amplitud.${\displaystyle x[n]}$para ceder${\displaystyle X(z)}$, la salida${\displaystyle Y(z)}$de la operación del modulador delta-sigma está representada por

${\displaystyle Y(z)=X(z)+E(z)\left(1-z^{-1}\right),}$

dónde${\displaystyle E(z)}$es el error de cuantización en el dominio de la frecuencia del modulador delta-sigma. Reordenando los términos, obtenemos

${\displaystyle Y(z)=E(z)+\left[X(z)-Y(z)z^{-1}\right]\left({\frac {1}{1-z^{-1}}}\right).}$

El factor${\displaystyle 1-z^{-1}}$representa un filtro de paso alto , por lo que está claro que${\displaystyle E(z)}$contribuye menos a la producción${\displaystyle Y(z)}$a bajas frecuencias y más a altas frecuencias. Esto demuestra el efecto de conformación de ruido del modulador delta-sigma: el ruido de cuantización se desplaza desde las bajas frecuencias hacia el rango de altas frecuencias.

Utilizando la transformada Z inversa , podemos convertir esto en una ecuación de diferencias que relaciona la entrada del modulador delta-sigma con su salida en el dominio del tiempo discreto ,

${\displaystyle y[n]=x[n]+e[n]-e[n-1].}$

Hay dos restricciones adicionales a considerar: primero, en cada paso la muestra de salida${\displaystyle y[n]}$se elige de manera que se minimice el error de cuantización "en marcha"${\displaystyle e[n].}$Segundo,${\displaystyle y[n]}$se representa como un solo bit, lo que significa que solo puede tomar dos valores. Elegimos${\displaystyle y[n]=\pm 1}$para mayor comodidad, lo que nos permite escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}\\&={\begin{cases}+1&x[n]>e[n-1]\\-1&x[n]<e[n-1]\end{cases}}\\&=(x[n]-e[n-1])+e[n].\\\end{aligned}}}$

Reorganizar para resolver${\displaystyle e[n]}$rendimientos:

${\displaystyle e[n]=y[n]-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}.}$

Esto, finalmente, proporciona una fórmula para la muestra de salida.${\displaystyle y[n]}$en términos de la muestra de entrada${\displaystyle x[n]}$El error de cuantificación de cada muestra se retroalimenta a la entrada de la siguiente muestra.

El siguiente pseudocódigo implementa este algoritmo para convertir una señal de modulación por impulsos codificados (PCM) en una señal PDM:

// Codificar muestras en modulación de densidad de pulsos // utilizando un modulador sigma-delta de primer ordenfunción pdm( real[0..s] x, real qe = 0) // el error de ejecución inicial es cero var int[0..s] y para n de 0 a s hacer qe := qe + x[n] si qe > 0 entonces y[n] := 1 demás y[n] := −1 qe := qe - y[n] return y, qe // devuelve la salida y el error de ejecución

PDM es la codificación utilizada en el formato Super Audio CD (SACD) de Sony , bajo el nombre de Direct Stream Digital .

PDM también es la salida de algunos micrófonos MEMS . ^{[ 3 ]}

Algunos sistemas transmiten audio estéreo PDM a través de un único cable de datos. El flanco ascendente del reloj maestro indica un bit del canal izquierdo, mientras que el flanco descendente del reloj maestro indica un bit del canal derecho. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

• Modulación delta
• Modulación por impulsos codificados
• Modulación delta-sigma

• Convertidores A/D y D/A de 1 bit  : se analiza la modulación delta , la modulación por desplazamiento de fase (PDM, por sus siglas en inglés) o modulación sigma-delta (SDM), y su relación con la modulación por codificación de impulsos (PCM).
• Kite, Thomas (2012). "Understanding PDM Digital Audio" (PDF) . Audio Precision . Consultado el 19 de enero de 2017 .