Flujo pulsátil

En dinámica de fluidos , un flujo con variaciones periódicas se conoce como flujo pulsátil o flujo de Womersley . Los perfiles de flujo fueron derivados por primera vez por John R. Womersley (1907-1958) en su trabajo sobre el flujo sanguíneo en las arterias . ^{[ 1 ]} El sistema cardiovascular de los cordados es un muy buen ejemplo donde se encuentra el flujo pulsátil, pero también se observa en motores y sistemas hidráulicos , como resultado de mecanismos rotatorios que bombean el fluido.

El perfil de flujo pulsátil viene dado en una tubería recta por

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

dónde:

Para derivar la solución analítica de este perfil de velocidad de flujo no estacionario, se toman las siguientes suposiciones: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• El fluido es homogéneo , incompresible y newtoniano ;
• La pared del tubo es rígida y circular ;
• El movimiento es laminar , axisimétrico y paralelo al eje del tubo;
• Las condiciones de contorno son simetría axial en el centro y ausencia de deslizamiento en la pared;
• El gradiente de presión es una función periódica que impulsa el fluido; y
• La gravedad no tiene ningún efecto sobre el fluido.

De este modo, la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad se simplifican como

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

respectivamente. El gradiente de presión que impulsa el flujo pulsátil se descompone en series de Fourier ,

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t},}$

dónde${\displaystyle i}$es el número imaginario ,${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular del primer armónico (es decir,${\displaystyle n=1}$), y${\displaystyle P'_{n}}$son las amplitudes de cada armónico${\displaystyle n}$.${\displaystyle P'_{0}}$(que representa a${\displaystyle n=0}$) es el gradiente de presión en estado estacionario, cuyo signo es opuesto a la velocidad en estado estacionario (es decir, un gradiente de presión negativo produce un flujo positivo). De manera similar, el perfil de velocidad también se descompone en series de Fourier en fase con el gradiente de presión, porque el fluido es incompresible,

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t},}$

dónde${\displaystyle U_{n}}$son las amplitudes de cada armónico de la función periódica y el componente estacionario (${\displaystyle n=0}$) es simplemente flujo de Poiseuille

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Así, la ecuación de Navier-Stokes para cada armónico se lee como:

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right).}$

Con las condiciones de contorno satisfechas, la solución general de esta ecuación diferencial ordinaria para la parte oscilatoria (${\displaystyle n\geq 1}$) es

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

dónde${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$es la función de Bessel de primera especie y orden cero,${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$es la función de Bessel de segundo tipo y orden cero,${\displaystyle A_{n}}$y${\displaystyle B_{n}}$son constantes arbitrarias y${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$es el número de Womersley adimensional . La condición de contorno axisimétrica (${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$) se aplica para demostrar que${\displaystyle B_{n}=0}$para que la derivada de la ecuación anterior sea válida, ya que las derivadas${\displaystyle J_{0}'}$y${\displaystyle Y_{0}'}$aproximarse al infinito. A continuación, la condición de contorno de no deslizamiento de la pared (${\displaystyle U_{n}(R)=0}$) produce

${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}.}$

Por lo tanto, las amplitudes del perfil de velocidad del armónico${\displaystyle n}$convertirse

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right],}$

dónde${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$se utiliza para simplificar. El perfil de velocidad en sí se obtiene tomando la parte real de la función compleja resultante de la suma de todos los armónicos del pulso,

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}.}$

Perfil de velocidad

Para comparar la forma del perfil de velocidad, se puede suponer que

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

dónde

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

es la función de forma. ^{[ 5 ]} Es importante notar que esta formulación ignora los efectos inerciales. El perfil de velocidad se aproxima a un perfil parabólico o de tapón, para números de Womersley bajos o altos, respectivamente.

• Sistema cardiovascular
• Hemodinámica
• Número de Womersley
• martillo hidráulico