Paquete de retroceso

En matemáticas , un fibrado de retroceso o fibrado inducido ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} es el fibrado inducido por una aplicación de su espacio base. Dado un fibrado${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$y un mapa continuo${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$ Se puede definir un "retroceso" de${\displaystyle E}$por${\displaystyle f}$como un paquete${\displaystyle f^{*}E}$encima${\displaystyle B'}$. La fibra de${\displaystyle f^{*}E}$sobre un punto${\displaystyle b'}$en${\displaystyle B'}$es solo la fibra de${\displaystyle E}$encima${\displaystyle f(b')}$. De este modo${\displaystyle f^{*}E}$es la unión disjunta de todas estas fibras equipadas con una topología adecuada .

Dejar${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ser un haz de fibras con fibra abstracta${\displaystyle F}$y dejar${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$ser un mapa continuo . Definir el paquete de retroceso mediante $${\displaystyle f^{*}E=\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subseteq B'\times E}$$

y equiparlo con la topología del subespacio y el mapa de proyección.${\displaystyle \pi ':f^{*}E\rightarrow B'}$dado por la proyección sobre el primer factor, es decir, $${\displaystyle \pi '(b',e)=b'.\,}$$

La proyección sobre el segundo factor da como resultado un mapa. $${\displaystyle h\colon f^{*}E\to E}$$

de tal manera que el siguiente diagrama conmuta : $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{\ast }E&{\stackrel {h}{\longrightarrow }}&E\\{\pi }'\downarrow &&\downarrow \pi \\B'&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B\end{array}}}$$

Si${\displaystyle (U,\varphi )}$es una trivialización local de${\displaystyle E}$entonces${\displaystyle (f^{-1}U,\psi )}$es una trivialización local de${\displaystyle f^{*}E}$dónde $${\displaystyle \psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,}$$

De ello se deduce que${\displaystyle f^{*}E}$es un haz de fibras sobre${\displaystyle B'}$con fibra${\displaystyle F}$El paquete${\displaystyle f^{*}E}$se denomina retroceso de E por f o fibrado inducido por f . El mapa${\displaystyle h}$es entonces un morfismo de fibrado que cubre${\displaystyle f}$.

Cualquier sección${\displaystyle s}$de${\displaystyle E}$encima${\displaystyle B}$induce una sección de${\displaystyle f^{*}E}$encima${\displaystyle B'}$, denominada sección de retroceso${\displaystyle f^{*}s}$, simplemente definiendo

${\displaystyle f^{*}s(b'):=(b',s(f(b')))}$a pesar de${\displaystyle b'\in B'}$.

Si el paquete${\displaystyle E\rightarrow B}$tiene estructura de grupo${\displaystyle G}$con funciones de transición${\displaystyle t_{ij}}$(con respecto a una familia de trivializaciones locales)${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}$) luego el paquete de retroceso${\displaystyle f^{*}E}$también tiene estructura de grupo${\displaystyle G}$. Las funciones de transición en${\displaystyle f^{*}E}$son dados por

$${\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.}$$

Si${\displaystyle E\rightarrow B}$Si es un fibrado vectorial o fibrado principal , entonces también lo es el producto vectorial.${\displaystyle f^{*}E}$. En el caso de un paquete principal, la acción correcta de${\displaystyle G}$en${\displaystyle f^{*}E}$es dado por

$${\displaystyle (x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)}$$

De ello se deduce que el mapa${\displaystyle h}$cubierta${\displaystyle f}$es equivariante y, por lo tanto, define un morfismo de haces principales.

En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción de fibrado de retroceso es un ejemplo del retroceso categórico más general . Como tal, satisface la propiedad universal correspondiente .

La construcción del fibrado de retroceso puede realizarse en subcategorías de la categoría de espacios topológicos , como la categoría de variedades diferenciables . Esta última construcción resulta útil en geometría diferencial y topología .

Los haces también pueden describirse mediante sus haces de secciones . El retroceso de los haces corresponde entonces a la imagen inversa de los haces , que es un functor contravariante . Sin embargo, un haz es de forma más natural un objeto covariante , puesto que tiene un impulso directo , llamado imagen directa de un haz . La tensión e interacción entre haces y haces, o imagen inversa y directa, puede ser ventajosa en muchas áreas de la geometría. Sin embargo, la imagen directa de un haz de secciones de un haz no es , en general, el haz de secciones de algún haz de imagen directa, de modo que, aunque la noción de un "impulso directo de un haz" se define en algunos contextos (por ejemplo, el impulso directo por un difeomorfismo), en general se entiende mejor en la categoría de haces, porque los objetos que crea no pueden ser, en general, haces.

• Steenrod, Norman (1999) [1951]. La topología de los haces de fibras . Princeton: Princeton University Press . ISBN 9780691005485.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles . Graduate Texts in Mathematics. Vol.  20 (Tercera  ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94087-8.
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.

• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  166. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.