Raíz principal de la unidad

En matemáticas , una raíz principal n -ésima de la unidad (donde n es un entero positivo ) de un anillo es un elemento${\displaystyle \alpha }$satisfaciendo las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha ^{n}=1\\&\sum _{j=0}^{n-1}\alpha ^{jk}=0{\text{ para }}1\leq k<n\end{aligned}}}$

En un dominio integral , toda raíz n -ésima primitiva de la unidad es también una raíz principal.${\displaystyle n}$raíz -ésima de la unidad. En cualquier anillo, si n es una potencia de 2 , entonces cualquier raíz n /2-ésima de −1 es una raíz n -ésima principal de la unidad.

Un ejemplo contrario es${\displaystyle 3}$en el anillo de enteros módulo${\displaystyle 26}$; mientras${\displaystyle 3^{3}\equiv 1{\pmod {26}}}$y por lo tanto${\displaystyle 3}$es una raíz cúbica de la unidad ,${\displaystyle 1+3+3^{2}\equiv 13{\pmod {26}}}$lo que significa que no es una raíz cúbica principal de la unidad.

La importancia de que la raíz de la unidad sea principal radica en que es una condición necesaria para que la teoría de la transformada discreta de Fourier funcione correctamente.

• Bini, D.; Pan, V. (1994), Cálculos polinomiales y matriciales , vol.  1, Boston, MA: Birkhäuser, pág.  11