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Ángulos entre caras planas

El concepto de ángulos entre líneas (en el plano o en el espacio ), entre dos planos ( ángulo diedro ) o entre una línea y un plano puede generalizarse a dimensiones arbitrarias...

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El concepto de ángulos entre líneas (en el plano o en el espacio ), entre dos planos ( ángulo diedro ) o entre una línea y un plano puede generalizarse a dimensiones arbitrarias . Esta generalización fue discutida por primera vez por Camille Jordan . [ 1 ] Para cualquier par de planos en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria se puede definir un conjunto de ángulos mutuos que son invariantes bajo la transformación isométrica del espacio euclidiano. Si los planos no se intersecan, su distancia más corta es uno más invariante. [ 1 ] Estos ángulos se llaman canónicos [ 2 ] o principales . [ 3 ] El concepto de ángulos puede generalizarse a pares de planos en un espacio de producto interno de dimensión finita sobre los números complejos .

Definición de Jordan

DejarF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}ser pisos de dimensionesk{\displaystyle k}yl{\displaystyle l}en elnorte{\displaystyle n}espacio euclidiano de -dimensionesminorte{\displaystyle E^{n}}. Por definición, una traducción deF{\displaystyle F}oGRAMO{\displaystyle G}no altera sus ángulos mutuos. SiF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}no se cruzan, lo harán en cualquier traducción deGRAMO{\displaystyle G}que mapea algún punto enGRAMO{\displaystyle G}en algún momento enF{\displaystyle F}Por lo tanto, se puede asumir sin pérdida de generalidad queF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}intersecarse.

Jordan muestra que las coordenadas cartesianasincógnita1,…,incógnitaρ,{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}y1,…,yσ,{\displaystyle y_{1},\dots,y_{\sigma},}z1,…,zτ,{\displaystyle z_{1},\dots,z_{\tau},}tú1,…,túυ,{\ Displaystyle u_ {1}, \ puntos, u _ {\ upsilon},}v1,…,vα,{\displaystyle v_{1},\dots,v_{\alpha },}w1,…,wα{\displaystyle w_{1},\dots,w_{\alpha }}enminorte{\displaystyle E^{n}}entonces se puede definir de tal manera queF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}se describen, respectivamente, mediante los conjuntos de ecuaciones

incógnita1=0,…,incógnitaρ=0,{\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}
tú1=0,…,túυ=0,{\displaystyle u_{1}=0,\dots,u_{\upsilon }=0,}
v1=0,…,vα=0{\displaystyle v_{1}=0,\dots,v_{\alpha }=0}

y

incógnita1=0,…,incógnitaρ=0,{\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}
z1=0,…,zτ=0,{\displaystyle z_{1}=0,\dots,z_{\tau }=0,}
v1porque⁡θ1+w1pecado⁡θ1=0,…,vαporque⁡θα+wαpecado⁡θα=0{\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}

con0<θi<π/2,i=1,…,α{\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }Jordan llama a estas coordenadas canónicas . Por definición, los ángulosθi{\displaystyle \theta _{i}}son los ángulos entreF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}.

Los enteros no negativosρ,σ,τ,υ,α{\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }están limitados por

ρ+σ+τ+υ+2α=norte,{\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}
σ+τ+α=k,{\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}
σ+υ+α=ℓ.{\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}

Para que estas ecuaciones determinen completamente los cinco enteros no negativos, además de las dimensiones.norte,k{\displaystyle n,k}yℓ{\displaystyle \ell }y el númeroα{\displaystyle \alpha }de ángulosθi{\displaystyle \theta _{i}}, el entero no negativoσ{\displaystyle \sigma }Debe proporcionarse. Este es el número de coordenadas.yi{\displaystyle y_{i}}, cuyos ejes correspondientes son aquellos que se encuentran completamente dentro de ambosF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}. El número enteroσ{\displaystyle \sigma }es por lo tanto la dimensión deF∩GRAMO{\displaystyle F\cap G}. El conjunto de ángulosθi{\displaystyle \theta _{i}}puede complementarse conσ{\displaystyle \sigma }anglos0{\displaystyle 0}para indicar queF∩GRAMO{\displaystyle F\cap G}tiene esa dimensión.

La prueba de Jordan se aplica esencialmente sin alteraciones cuandominorte{\displaystyle E^{n}}es reemplazado por elnorte{\displaystyle n}-espacio interior dimensional del productodonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}sobre los números complejos. (Para ángulos entre subespacios , la generalización adonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}Galántai y Hegedũs lo analizan en términos de la caracterización variacional que se muestra a continuación . [ 4 ] ) [ 1 ]

Ángulos entre subespacios

Ahora dejemosF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}ser subespacios de lanorte{\displaystyle n}Espacio de producto interno -dimensional sobre los números reales o complejos. Geométricamente,F{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}son planos, por lo que se aplica la definición de ángulos mutuos de Jordan. Cuando para cualquier coordenada canónicaξ{\displaystyle \xi }el símboloξ^{\displaystyle {\hat {\xi }}}denota el vector unitario de laξ{\displaystyle \xi }eje, los vectoresy^1,…,y^σ,{\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots,{\hat {y}}_{\sigma},}w^1,…,w^α,{\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots,{\hat {w}}_{\alpha},}z^1,…,z^τ{\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots,{\hat {z}}_{\tau }}formar una base ortonormal paraF{\displaystyle F}y los vectoresy^1,…,y^σ,{\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots,{\hat {y}}_{\sigma},}w^1′,…,w^α′,{\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots,{\hat {w}}'_{\alpha},}tú^1,…,tú^υ{\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}formar una base ortonormal paraGRAMO{\displaystyle G}, dónde

w^i′=w^iporque⁡θi+v^ipecado⁡θi,i=1,…,α.{\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}

Al estar relacionados con coordenadas canónicas , estos vectores básicos pueden denominarse canónicos .

Cuandoai,i=1,…,k{\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}denotemos los vectores básicos canónicos paraF{\displaystyle F}ybi,i=1,…,l{\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}los vectores básicos canónicos paraGRAMO{\displaystyle G}luego el producto interno⟨ai,bj⟩{\displaystyle \langle a_ {i},b_ {j}\rangle}desaparece para cualquier par dei{\displaystyle i}y j{\displaystyle j}excepto los siguientes.

⟨y^i,y^i⟩=1,i=1,…,σ,⟨w^i,w^i′⟩=porque⁡θi,i=1,…,α.{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}

Con el ordenamiento anterior de los vectores básicos, la matriz de los productos internos⟨ai,bj⟩{\displaystyle \langle a_ {i},b_ {j}\rangle}es, por lo tanto, diagonal . En otras palabras, si(ai′,i=1,…,k){\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}y(bi′,i=1,…,ℓ){\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}son bases ortonormales arbitrarias enF{\displaystyle F}yGRAMO{\displaystyle G}Luego, las transformaciones reales, ortogonales o unitarias desde la base.(ai′){\displaystyle (a'_{i})}a la base(ai){\displaystyle (a_{i})}y desde la base(bi′){\displaystyle (b'_{i})}a la base(bi){\displaystyle (b_{i})}realizar una descomposición en valores singulares de la matriz de productos internos⟨ai′,bj′⟩{\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }Los elementos de la matriz diagonal⟨ai,bi⟩{\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }son los valores singulares de la última matriz. Debido a la unicidad de la descomposición en valores singulares, los vectoresy^i{\displaystyle {\hat {y}}_{i}}son entonces únicos salvo una transformación real, ortogonal o unitaria entre ellos, y los vectoresw^i{\displaystyle {\hat {w}}_{i}}yw^i′{\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}(y por lo tantov^i{\displaystyle {\hat {v}}_{i}}) son únicos salvo transformaciones reales, ortogonales o unitarias iguales aplicadas simultáneamente a los conjuntos de los vectoresw^i{\displaystyle {\hat {w}}_{i}}asociado con un valor común deθi{\displaystyle \theta _{i}}y a los conjuntos de vectores correspondientesw^i′{\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}(y por lo tanto a los conjuntos correspondientes dev^i{\displaystyle {\hat {v}}_{i}}).

Un valor singular1{\displaystyle 1}puede interpretarse comoporque0{\displaystyle \cos \,0}correspondientes a los ángulos0{\displaystyle 0}presentado anteriormente y asociado conF∩GRAMO{\displaystyle F\cap G}y un valor singular0{\displaystyle 0}puede interpretarse comoporque⁡π/2{\displaystyle \cos \pi /2}correspondientes a ángulos rectos entre los espacios ortogonalesF∩GRAMO⊥{\displaystyle F\cap G^{\bot }}yF⊥∩GRAMO{\displaystyle F^{\bot }\cap G}, donde el superíndice⊥{\displaystyle \bot }denota el complemento ortogonal .

Caracterización variacional

La caracterización variacional de valores singulares y vectores implica como caso especial una caracterización variacional de los ángulos entre subespacios y sus vectores canónicos asociados. Esta caracterización incluye los ángulos0{\displaystyle 0}yπ/2{\displaystyle \pi /2}Introducida anteriormente, ordena los ángulos por valor creciente. Puede expresarse mediante la siguiente definición alternativa. En este contexto, es habitual hablar de ángulos y vectores principales . [ 3 ]

Definición

DejarV{\displaystyle V}Sea un espacio de producto interno. Dados dos subespaciosU,W{\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}conoscuro⁡(U)=k≤oscuro⁡(W):=ℓ{\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }, entonces existe una secuencia dek{\displaystyle k}anglos0≤θ1≤θ2≤⋯≤θk≤π/2{\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}llamados ángulos principales, el primero definido como

θ1:=min{arcos⁡(|⟨tú,w⟩|‖tú‖‖w‖)|tú∈U,w∈W}=∠(tú1,w1),{\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}

dónde⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }es el producto interno y‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}la norma inducida . Los vectorestú1{\displaystyle u_{1}}yw1{\displaystyle w_{1}}son los vectores principales correspondientes.

Los demás ángulos y vectores principales se definen luego recursivamente mediante

θi:=min{arcos⁡(|⟨tú,w⟩|‖tú‖‖w‖)|tú∈U, w∈W, tú⊥túj, w⊥wj∀j∈{1,…,i−1}}.{\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}

Esto significa que los ángulos principales(θ1,…,θk){\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}Forman un conjunto de ángulos minimizados entre los dos subespacios, y los vectores principales en cada subespacio son ortogonales entre sí.

Ejemplos

Ejemplo geométrico

Geométricamente, los subespacios son planos (puntos, líneas, planos, etc.) que incluyen el origen, por lo que dos subespacios cualesquiera se intersecan al menos en el origen. Dos subespacios bidimensionalesU{\displaystyle {\mathcal {U}}}yW{\displaystyle {\mathcal {W}}}generar un conjunto de dos ángulos. En un espacio euclidiano tridimensional , los subespaciosU{\displaystyle {\mathcal {U}}}yW{\displaystyle {\mathcal {W}}}son idénticas o su intersección forma una línea. En el primer caso, ambasθ1=θ2=0{\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}En este último caso, soloθ1=0{\displaystyle \theta _{1}=0}, donde vectorestú1{\displaystyle u_{1}}yw1{\displaystyle w_{1}}están en la línea de la intersecciónU∩W{\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}y tienen la misma dirección. El ánguloθ2>0{\displaystyle \theta _{2}>0}será el ángulo entre los subespaciosU{\displaystyle {\mathcal {U}}}yW{\displaystyle {\mathcal {W}}}en el complemento ortogonal aU∩W{\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}Al imaginar el ángulo entre dos planos en 3D, uno piensa intuitivamente en el ángulo más grande,θ2>0{\displaystyle \theta _{2}>0}.

Ejemplo algebraico

En el espacio de coordenadas reales de 4 dimensiones R 4 , sea el subespacio bidimensionalU{\displaystyle {\mathcal {U}}}ser abarcado portú1=(1,0,0,0){\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}ytú2=(0,1,0,0){\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}y sea el subespacio bidimensionalW{\displaystyle {\mathcal {W}}}ser abarcado porw1=(1,0,0,a)/1+a2{\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}yw2=(0,1,b,0)/1+b2{\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}con algo de verdada{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}de tal manera que|a|<|b|{\displaystyle |a|<|b|}. Entoncestú1{\displaystyle u_{1}}yw1{\displaystyle w_{1}}son, de hecho, el par de vectores principales correspondientes al ánguloθ1{\displaystyle \theta _{1}}conporque⁡(θ1)=1/1+a2{\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}, ytú2{\displaystyle u_{2}}yw2{\displaystyle w_{2}}son los vectores principales correspondientes al ánguloθ2{\displaystyle \theta _{2}}conporque⁡(θ2)=1/1+b2.{\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}

Para construir un par de subespacios con cualquier conjunto dado dek{\displaystyle k}anglosθ1,…,θk{\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}en un2k{\displaystyle 2k}espacio euclidiano de dimensión (o mayor) , tome un subespacioU{\displaystyle {\mathcal {U}}}con una base ortonormal(mi1,…,mik){\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})} y completarlo a una base ortonormal(mi1,…,minorte){\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}del espacio euclidiano, dondenorte≥2k{\displaystyle n\geq 2k}. Luego, una base ortonormal del otro subespacioW{\displaystyle {\mathcal {W}}}es, por ejemplo,

(porque⁡(θ1)mi1+pecado⁡(θ1)mik+1,…,porque⁡(θk)mik+pecado⁡(θk)mi2k).{\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}

Propiedades básicas

  • Si el ángulo mayor es cero, un subespacio es un subconjunto del otro.
  • Si el ángulo más grande esπ/2{\displaystyle \pi /2}, existe al menos un vector en un subespacio perpendicular al otro subespacio.
  • Si el ángulo más pequeño es cero, los subespacios se intersecan al menos en una línea recta.
  • Si el ángulo más pequeño esπ/2{\displaystyle \pi /2}, los subespacios son ortogonales.
  • El número de ángulos iguales a cero es la dimensión del espacio donde se intersecan los dos subespacios.

Propiedades avanzadas

  • No trivial (diferente de0{\displaystyle 0}yπ/2{\displaystyle \pi /2}[ 5 ] ) Los ángulos entre dos subespacios son los mismos que los ángulos no triviales entre sus complementos ortogonales. [ 6 ] [ 7 ]
  • Ángulos no triviales entre los subespaciosU{\displaystyle {\mathcal {U}}}yW{\displaystyle {\mathcal {W}}}y los correspondientes ángulos no triviales entre los subespaciosU{\displaystyle {\mathcal {U}}}yW⊥{\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}resumir hastaπ/2{\displaystyle \pi /2}. [ 6 ] [ 7 ]
  • Los ángulos entre subespacios satisfacen la desigualdad triangular en términos de mayorización y, por lo tanto, pueden usarse para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios, convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . [ 8 ]
  • El seno de los ángulos entre subespacios satisface la desigualdad triangular en términos de mayorización y, por lo tanto, puede usarse para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios, convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . [ 6 ] Por ejemplo, el seno del ángulo mayor se conoce como brecha entre subespacios . [ 9 ]

Extensiones

La noción de ángulos y algunas de las propiedades variacionales pueden extenderse naturalmente a productos internos arbitrarios [ 10 ] y subespacios con dimensiones infinitas . [ 7 ]

Cálculo

Históricamente, los ángulos y vectores principales aparecen por primera vez en el contexto de la correlación canónica y se calculaban originalmente utilizando la descomposición en valores singulares (SVD) de las matrices de covarianza correspondientes . Sin embargo, como se observó por primera vez en [ 3 ], la correlación canónica está relacionada con el coseno de los ángulos principales, que está mal condicionado para ángulos pequeños, lo que lleva a un cálculo muy impreciso de vectores principales altamente correlacionados en aritmética computacional de precisión finita . El algoritmo basado en el seno [ 3 ] soluciona este problema, pero crea un nuevo problema de cálculo muy impreciso de vectores principales altamente no correlacionados, ya que la función seno está mal condicionada para ángulos cercanos a π /2. Para producir vectores principales precisos en aritmética computacional para todo el rango de los ángulos principales, la técnica combinada [ 10 ] primero calcula todos los ángulos y vectores principales utilizando el enfoque clásico basado en el coseno , y luego recalcula los ángulos principales menores que π /4 y los vectores principales correspondientes utilizando el enfoque basado en el seno . [ 3 ] La técnica combinada [ 10 ] está implementada en las bibliotecas de código abierto Octave [ 11 ] y SciPy [ 12 ] y se ha contribuido [ 13 ] y [ 14 ] a MATLAB .

Véase también

Referencias

  1. ^ Jordania , Camille ( 1875 ). "Ensayo sobre la geometríanorte{\displaystyle n}dimensiones" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 3 : 103– 174. doi : 10.24033/bsmf.90 .
  2. ↑ Afriat, SN (1957). "Proyectores ortogonales y oblicuos y la caracterización de pares de espacios vectoriales". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 53 (4): 800– 816. doi : 10.1017/S0305004100032916 . S2CID 122049149 . 
  3. 1 2 3 4 5 Björck, Å.; Golub, GH (1973). "Métodos numéricos para calcular ángulos entre subespacios lineales". Matemáticas de la computación . 27 (123): 579– 594. doi : 10.2307/2005662 . JSTOR 2005662 . 
  4. ↑ Galántai, A.; Hegedũs, Cs. J. (2006). "Ángulos principales de Jordan en espacios vectoriales complejos". Álgebra lineal numérica con aplicaciones . 13 (7): 589– 598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525 . doi : 10.1002/nla.491 . S2CID 13107400 .  
  5. ↑ Halmos, PR (1969), "Two subspaces", Transactions of the American Mathematical Society , 144 : 381–389 , doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251519-5
  6. 1 2 3 Knyazev, AV; Argentati, ME (2006), "Majorization for Changes in Angles Between Subspaces, Ritz Values, and Graph Laplacian Spectra", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 29 (1): 15– 32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770 , doi : 10.1137/060649070 , S2CID 16987402  
  7. 1 2 3 Knyazev, AV; Jujunashvili, A.; Argentati, ME (2010), "Ángulos entre subespacios de dimensión infinita con aplicaciones a los métodos de Rayleigh-Ritz y proyectores alternados", Journal of Functional Analysis , 259 (6): 1323– 1345, arXiv : 0705.1023 , doi : 10.1016/j.jfa.2010.05.018 , S2CID 5570062 
  8. ↑ Qiu, L.; Zhang, Y.; Li, C.-K. (2005), "Métricas unitariamente invariantes en el espacio de Grassmann" (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 27 (2): 507– 531, doi : 10.1137/040607605
  9. ↑ Kato, DT (1996), Teoría de perturbaciones para operadores lineales , Springer, Nueva York
  10. 1 2 3 Knyazev, AV; Argentati, ME (2002), "Ángulos principales entre subespacios en un producto escalar basado en A: algoritmos y estimaciones de perturbación", SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009– 2041, Bibcode : 2002SJSC...23.2008K , CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , doi : 10.1137/S1064827500377332 
  11. ↑ Subespacio de función de octava
  12. ↑ Función de álgebra lineal de SciPy subspace_angles
  13. ↑ Subespacio de funciones de MATLAB FileExchange
  14. ↑ Subespacio de funciones de MATLAB FileExchange