Ideal (teoría del orden)

En la teoría del orden matemático , un ideal es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Si bien este término se derivó históricamente de la noción de ideal de anillo del álgebra abstracta , posteriormente se ha generalizado a una noción diferente. Los ideales son de gran importancia para muchas construcciones en la teoría del orden y de retículos .

Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (P,\leq )}$es un ideal , si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. Yo no es vacío ,
2. para cada x en I e y en P , y ≤ x implica que y está en I  ( I es un conjunto inferior ),
3. para cada x , y en I , hay algún elemento z en I , tal que x ≤ z e y ≤ z  ( I es un conjunto dirigido ).

Si bien esta es la forma más general de definir un ideal para conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios, originalmente se definió solo para retículos . En este caso, se puede dar la siguiente definición equivalente: un subconjunto I de un retículo${\displaystyle (P,\leq )}$es un ideal si y solo si es un conjunto inferior cerrado bajo uniones finitas ( suprema ); es decir, no es vacío y para todo x , y en I , el elemento${\displaystyle x\vee y}$de P también está ^en I. [ ^{3 ]}

Una noción más débil de ideal de orden se define como un subconjunto de un poset P que satisface las condiciones 1 y 2 anteriores. En otras palabras, un ideal de orden es simplemente un conjunto inferior . De manera similar, un ideal también puede definirse como un "conjunto inferior dirigido".

La noción dual de un ideal, es decir, el concepto obtenido al invertir todos los ≤ e intercambiar${\displaystyle \vee }$con${\displaystyle \wedge ,}$es un filtro .

Los ideales de Frink , los pseudoideales y los pseudoideales de Doyle son diferentes generalizaciones de la noción de ideal reticular.

Se dice que un ideal o filtro es propio si no es igual a todo el ^conjunto P. [ ^{3 ]}

El ideal más pequeño que contiene un elemento dado p es unideal principal yse dice quepelemento principal del ideal en esta situación. El ideal principal${\displaystyle \downarrow p}$para un principal p viene dado por ↓ p = { x ∈ P | x ≤ p } .

Las definiciones anteriores de "ideal" y "ideal de orden" son las estándar, ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} pero existe cierta confusión terminológica. A veces, términos y definiciones como "ideal", "ideal de orden", " ideal de Frink " o "ideal de orden parcial" se utilizan indistintamente. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Un caso especial importante de un ideal lo constituyen aquellos ideales cuyos complementos de teoría de conjuntos son filtros, es decir, ideales en orden inverso. Dichos ideales se denominan filtros.Ideales primos s. Además, tenga en cuenta que, dado que requerimos que los ideales y los filtros no sean vacíos, todo ideal primo es necesariamente propio. Para retículos, los ideales primos se pueden caracterizar de la siguiente manera:

Un subconjunto I de una red${\displaystyle (P,\leq )}$es un ideal primordial, si y solo si

1. I es un ideal propio de P , y
2. para todos los elementos x e y de P ,${\displaystyle x\wedge y}$en I implica que x ∈ I o y ∈ I .

Se puede comprobar fácilmente que esto es efectivamente equivalente a afirmar que${\displaystyle P\setminus I}$es un filtro (que entonces también es primo, en el sentido dual).

Para una red completa, la noción adicional de unaUn ideal primo completo tiene sentido. Se define como un ideal propioIcon la propiedad adicional de que, siempre que el ínfimodeun conjunto arbitrario A pertenezca a I , algún elemento deAtambién pertenece aI.Por lo tanto, se trata simplemente de un ideal primo específico que extiende las condiciones anteriores a un número infinito de ínfimos.

La existencia de ideales primos no es, en general, obvia, y a menudo no es posible obtener una cantidad suficiente de ellos dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF, por sus siglas en inglés) sin el axioma de elección . Este problema se analiza en diversos teoremas sobre ideales primos , necesarios para muchas aplicaciones que los requieren.

Un yo ideal es unUn ideal es maximal si es propio y no existe ningúnidealpropioJque sea un superconjunto estricto deI.Del mismo modo, un filtroFes maximal si es propio y no existe ningún filtro propio que sea un superconjunto estricto.

Cuando un conjunto parcialmente ordenado es un retículo distributivo , los ideales y filtros maximales son necesariamente primos, mientras que lo contrario de esta afirmación es falso en general.

Los filtros maximales a veces se denominan ultrafiltros , pero esta terminología suele reservarse para las álgebras booleanas, donde un filtro (ideal) maximal es un filtro (ideal) que contiene exactamente uno de los elementos { a , ¬a } , para cada elemento a del álgebra booleana. En las álgebras booleanas, los términos ideal primo e ideal maximal coinciden, al igual que los términos filtro primo y filtro maximal .

Existe otra noción interesante de maximalidad de ideales: Consideremos un ideal I y un filtro F tal que I es disjunto de F. Nos interesa un ideal M que sea maximal entre todos los ideales que contienen a I y son disjuntos de F. En el caso de retículos distributivos, dicho M es siempre un ideal primo. A continuación se presenta una demostración de esta afirmación.

Sin embargo, en general, no está claro si existe algún ideal M que sea maximal en este sentido. No obstante, si asumimos el axioma de elección en nuestra teoría de conjuntos, entonces se puede demostrar la existencia de M para cada par filtro-ideal disjunto. En el caso particular de que el orden considerado sea un álgebra booleana , este teorema se denomina teorema del ideal primo booleano . Es estrictamente más débil que el axioma de elección y resulta que no se necesita nada más para muchas aplicaciones de la teoría del orden de los ideales.

La construcción de ideales y filtros es una herramienta importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden.

• En el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas , los ideales maximales (o, equivalentemente a través del mapa de negación, los ultrafiltros) se utilizan para obtener el conjunto de puntos de un espacio topológico , cuyos conjuntos clopen son isomorfos al álgebra booleana original.
• La teoría del orden conoce muchos procedimientos de completación para transformar conjuntos parcialmente ordenados (posets) en conjuntos parcialmente ordenados con propiedades de completitud adicionales. Por ejemplo, la completación ideal de un orden parcial P dado es el conjunto de todos los ideales de P ordenados por inclusión de subconjuntos. Esta construcción produce el dcpo libre generado por P. Un ideal es principal si y solo si es compacto en la completación ideal, por lo que el poset original puede recuperarse como el subposet formado por elementos compactos. Además, todo dcpo algebraico puede reconstruirse como la completación ideal de su conjunto de elementos compactos.

Los ideales fueron introducidos por Marshall H. Stone inicialmente para las álgebras booleanas , ^{[ 8 ]} donde el nombre se derivó de los ideales de anillo del álgebra abstracta. Adoptó esta terminología porque, utilizando el isomorfismo de las categorías de las álgebras booleanas y de los anillos booleanos , ambas nociones coinciden.

La generalización a cualquier conjunto parcialmente ordenado fue realizada por Frink . ^{[ 9 ]}

• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Ideal (teoría de anillos) – Submódulo de un anillo matemático 
• Ideal sobre un conjunto : Familia no vacía de conjuntos que es cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos. 
• Ideal de semigrupo
• Teorema del ideal primo booleano : los ideales en un álgebra booleana pueden extenderse a ideales primos. 

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Un curso de álgebra universal . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002). Introducción a las redes y el orden (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Taylor, Paul (1999), Fundamentos prácticos de las matemáticas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, MR 1694820 
• Frenchman, Zack; Hart, James (2020), Introducción a la teoría del orden , AMS