Conjuntos separados

En topología y ramas afines de las matemáticas , los conjuntos separados son pares de subconjuntos de un espacio topológico dado que se relacionan entre sí de una manera determinada: en términos generales, no se superponen ni se tocan. La noción de cuándo dos conjuntos están separados o no es importante tanto para la noción de espacios conexos (y sus componentes conexas) como para los axiomas de separación de los espacios topológicos.

Los conjuntos separados no deben confundirse con los espacios separados (definidos más adelante), que si bien están relacionados, son diferentes. Los espacios separables constituyen, a su vez, un concepto topológico completamente distinto.

Existen diversas maneras en que dos subconjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se puede considerar que dos conjuntos están separados. Una forma básica de separar dos conjuntos es si son disjuntos , es decir, si su intersección es el conjunto vacío . Esta propiedad no tiene nada que ver con la topología propiamente dicha, sino solo con la teoría de conjuntos . Cada una de las siguientes propiedades es más estricta que la disyunción, ya que incorpora información topológica.

Las propiedades que se describen a continuación se presentan en orden creciente de especificidad, siendo cada una un concepto más fuerte que el anterior.

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sonseparados en${\displaystyle X}$si cada uno es disjunto del cierre del otro :

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

Esta propiedad se conoce como la condición de separación de Hausdorff-Lennes . ^{[ 1 ]} Dado que cada conjunto está contenido en su clausura, dos conjuntos separados deben ser disjuntos automáticamente. Las clausuras mismas no tienen que ser disjuntas entre sí; por ejemplo, los intervalos${\displaystyle [0,1)}$y${\displaystyle (1,2]}$están separados en la línea real${\displaystyle \mathbb {R} ,}$aunque el punto 1 pertenece a ambos cierres. Un ejemplo más general es que en cualquier espacio métrico , dos bolas abiertas${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$y${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$se separan siempre que${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$La propiedad de estar separado también puede expresarse en términos de conjunto derivado (indicado por el símbolo prima):${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están separados cuando son disjuntos y cada uno es disjunto del conjunto derivado del otro, es decir,${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$(Como en el caso de la primera versión de la definición, los conjuntos derivados${\displaystyle A'}$y${\displaystyle B'}$no es necesario que estén separados entre sí.)

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sonseparados por barrios si haybarrios${\displaystyle U}$de${\displaystyle A}$y${\displaystyle V}$de${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$son disjuntos. (A veces verá el requisito de que${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$ser barrios abiertos , pero esto no hace ninguna diferencia al final.) Por ejemplo${\displaystyle A=[0,1)}$y${\displaystyle B=(1,2],}$podrías tomar${\displaystyle U=(-1,1)}$y${\displaystyle V=(1,3).}$Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindarios, entonces ciertamente están separados. Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si están abiertos y desarticulados, entonces deben separarse por vecindarios; simplemente tome${\displaystyle U=A}$y${\displaystyle V=B.}$Por esta razón, la separación se usa a menudo con conjuntos cerrados (como en el axioma de separación normal ).

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sonseparado por vecindarios cerrados si hay unvecindariocerrado${\displaystyle U}$de${\displaystyle A}$y un barrio cerrado${\displaystyle V}$de${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$son disjuntos. Nuestros ejemplos,${\displaystyle [0,1)}$y${\displaystyle (1,2],}$no están separados por vecindarios cerrados. Podrías hacer cualquiera de las dos${\displaystyle U}$o${\displaystyle V}$ se cierran al incluir el punto 1 en él, pero no se pueden cerrar ambos manteniéndolos disjuntos. Nótese que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindarios cerrados, entonces ciertamente están separados por vecindarios .

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sonseparadas por una función continua si existe unafunción continua${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$desde el espacio${\displaystyle X}$a la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$y${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$, es decir, miembros de${\displaystyle A}$mapear a 0 y miembros de${\displaystyle B}$mapear a 1. (A veces el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$se utiliza en lugar de${\displaystyle \mathbb {R} }$en esta definición, pero esto no cambia nada.) En nuestro ejemplo,${\displaystyle [0,1)}$y${\displaystyle (1,2]}$no están separados por una función, porque no hay manera de definirlos continuamente${\displaystyle f}$en el punto 1. ^{[ 2 ]} Si dos conjuntos están separados por una función continua, entonces también están separados por vecindades cerradas ; las vecindades se pueden dar en términos de la preimagen de${\displaystyle f}$como${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$y${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$dónde${\displaystyle c}$es cualquier número real positivo menor que${\displaystyle 1/2.}$

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sonseparadas precisamente por una función continua si existe una función continua${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$y${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$(De nuevo, también puede ver el intervalo unitario en lugar de${\displaystyle \mathbb {R} ,}$y de nuevo no hay diferencia.) Nótese que si dos conjuntos cualesquiera están separados precisamente por una función, entonces están separados por una función . Dado que${\displaystyle \{0\}}$y${\displaystyle \{1\}}$están cerrados en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$Solo los conjuntos cerrados pueden separarse con precisión mediante una función, pero el hecho de que dos conjuntos sean cerrados y estén separados por una función no significa que estén automáticamente separados con precisión por una función (incluso una función diferente).

Los axiomas de separación son diversas condiciones que a veces se imponen a los espacios topológicos, muchas de las cuales pueden describirse en términos de los distintos tipos de conjuntos separados. Como ejemplo, definiremos el axioma T₂ _, que es la condición impuesta a los espacios separados. Específicamente, un espacio topológico es separado si, dados dos puntos distintos cualesquiera x e y , los conjuntos unitarios { x } e { y } están separados por vecindades.

Los espacios separados se denominan generalmente espacios de _Hausdorff o espacios T2 .

Dado un espacio topológico X , a veces es útil considerar si es posible que un subconjunto A se separe de su complemento . Esto es ciertamente cierto si A es el conjunto vacío o todo el espacio X , pero puede haber otras posibilidades. Un espacio topológico X es conexo si estas son las únicas dos posibilidades. Recíprocamente, si un subconjunto no vacío A se separa de su propio complemento, y si el único subconjunto de A que comparte esta propiedad es el conjunto vacío, entonces A es un componente abierto-conexo de X. (En el caso degenerado donde X es el conjunto vacío${\displaystyle \emptyset }$Las autoridades discrepan sobre si${\displaystyle \emptyset }$está conectado y si${\displaystyle \emptyset }$es un componente abierto y conectado de sí mismo.)

Dado un espacio topológico X , dos puntos x e y son topológicamente distinguibles si existe un conjunto abierto al que pertenece un punto pero no el otro. Si x e y son topológicamente distinguibles, entonces los conjuntos unitarios { x } e { y } deben ser disjuntos. Por otro lado, si los conjuntos unitarios { x } e { y } están separados, entonces los puntos x e y deben ser topológicamente distinguibles. Así, para los conjuntos unitarios, la distinguibilidad topológica es una condición intermedia entre la disyunción y la separación.

• Espacio de Hausdorff – Tipo de espacio topológico 
• Espacio Hausdorff local : espacio tal que cada punto tiene un vecindario Hausdorff. 
• Axioma de separación – Axiomas en topología que definen las nociones de "separación"