Matriz de ponderación de posición

Una matriz de pesos posicionales (PWM) tiene una fila por cada símbolo del alfabeto (4 filas para nucleótidos en secuencias de ADN o 20 filas para aminoácidos en secuencias de proteínas ) y una columna por cada posición en el patrón. En el primer paso para construir una PWM, se crea una matriz de frecuencia de posición (PFM) básica contando las ocurrencias de cada nucleótido en cada posición. A partir de la PFM, se puede crear una matriz de probabilidad de posición (PPM) dividiendo ese recuento de nucleótidos en cada posición por el número de secuencias, normalizando así los valores. Formalmente, dado un conjunto X de N secuencias alineadas de longitud l , se calculan los elementos de la PPM M :

${\displaystyle M_{k,j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I(X_{i,j}=k),}$

donde i (1,..., N ), j (1,..., l ), ​​k es el conjunto de símbolos en el alfabeto e I(a=k) es una función indicadora donde I(a=k) es 1 si a=k y 0 en caso contrario.${\displaystyle \in }$${\displaystyle \in }$

Por ejemplo, dadas las siguientes secuencias de ADN:

El PFM correspondiente es:

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}3&6&1&0&0&6&7&2&1\\2&2&1&0&0&2&1&1&2\\1&1&7&10&0&1&1&5&1\\4&1&1&0&10&1&1&2&6\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, el PPM resultante es: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.3&0.6&0.1&0.0&0.0&0.6&0.7&0.2&0.1\\0.2&0.2&0.1&0.0&0.0&0.2&0.1&0.1&0.2\\0.1&0.1&0.7&1.0&0.0&0.1&0.1&0.5&0.1\\0.4&0.1&0.1&0.0&1.0&0.1&0.1&0.2&0.6\end{bmatrix}}.}$

Tanto los PPM como los PWM asumen independencia estadística entre las posiciones del patrón, ya que las probabilidades de cada posición se calculan independientemente de las demás. De la definición anterior, se deduce que la suma de los valores de una posición determinada (es decir, la suma de todos los símbolos) es 1. Por lo tanto, cada columna puede considerarse una distribución multinomial independiente . Esto facilita el cálculo de la probabilidad de una secuencia dada una PPM, multiplicando las probabilidades correspondientes en cada posición. Por ejemplo, la probabilidad de la secuencia S  = GAGGTAAAC dada la PPM M anterior se puede calcular de la siguiente manera: 

${\displaystyle p(S\vert M)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056.}$

Los pseudocuentas (o estimadores de Laplace ) se aplican a menudo al calcular PPM cuando se basan en un conjunto de datos pequeño, para evitar que las entradas de la matriz tengan un valor de 0. ^{[ 2 ]} Esto es equivalente a multiplicar cada columna del PPM por una distribución de Dirichlet y permite calcular la probabilidad para secuencias nuevas (es decir, secuencias que no formaban parte del conjunto de datos original). En el ejemplo anterior, sin pseudocuentas, cualquier secuencia que no tuviera una G en la cuarta posición o una T en la quinta posición tendría una probabilidad de 0, independientemente de las demás posiciones.

Por lo general, los elementos de los PWM se calculan como logaritmos de probabilidades. Es decir, los elementos de un PPM se transforman utilizando un modelo de fondo de manera que:${\displaystyle b}$

${\displaystyle M_{k,j}=\mathrm {log_{2}} \;(M_{k,j}/b_{k}).}$

Describe cómo se puede calcular un elemento en el PWM (izquierda) . El modelo de fondo más simple supone que cada letra aparece con la misma frecuencia en el conjunto de datos. Es decir, el valor de para todos los símbolos del alfabeto (0,25 para nucleótidos y 0,05 para aminoácidos). Al aplicar esta transformación al PPM M anterior (sin agregar pseudocuentas) se obtiene:${\displaystyle M_{k,j}}$${\displaystyle b_{k}=1/\vert k\vert }$

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.26&1.26&-1.32&-\infty &-\infty &1.26&1.49&-0.32&-1.32\\-0.32&-0.32&-1.32&-\infty &-\infty &-0.32&-1.32&-1.32&-0.32\\-1.32&-1.32&1.49&2.0&-\infty &-1.32&-1.32&1.0&-1.32\\0.68&-1.32&-1.32&-\infty &2.0&-1.32&-1.32&-0.32&1.26\end{bmatrix}}.}$

Las entradas en la matriz dejan clara la ventaja de agregar pseudocuentas, especialmente cuando se utilizan conjuntos de datos pequeños para construir M. El modelo de fondo no necesita tener valores iguales para cada símbolo: por ejemplo, al estudiar organismos con un alto contenido de GC , los valores de C y G pueden aumentarse con una disminución correspondiente para los valores de A y T.${\displaystyle -\infty }$

Cuando los elementos PWM se calculan utilizando logaritmos de verosimilitud, la puntuación de una secuencia se puede calcular sumando (en lugar de multiplicando) los valores relevantes en cada posición del PWM. La puntuación de la secuencia indica cuán diferente es la secuencia de una secuencia aleatoria. La puntuación es 0 si la secuencia tiene la misma probabilidad de ser un sitio funcional y de ser un sitio aleatorio. La puntuación es mayor que 0 si es más probable que sea un sitio funcional que un sitio aleatorio, y menor que 0 si es más probable que sea un sitio aleatorio que un sitio funcional. ^{[ 1 ]} La puntuación de la secuencia también se puede interpretar en un marco físico como la energía de enlace para esa secuencia.