El problema de Pompeya

En matemáticas , el problema de Pompeiu es una conjetura en geometría integral , que recibe su nombre de Dimitrie Pompeiu , quien planteó el problema en 1929, de la siguiente manera. Supongamos que f es una función continua no nula definida en un espacio euclidiano, y K es un dominio de Lipschitz simplemente conexo , de modo que la integral de f se anula en cada copia congruente de K. Entonces el dominio es una bola .

Una formulación muy relacionada y de gran importancia es la conjetura de Schiffer, que recibe su nombre del matemático Menahem Max Schiffer . Mientras que el problema de Pompeya se basa en la geometría integral, la conjetura de Schiffer se formula en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales parciales .

La conjetura de Schiffer propone que si un dominio acotado y simplemente conexo${\displaystyle \Omega }$con un límite suficientemente liso${\displaystyle \partial \Omega }$admite una solución no trivial${\displaystyle u}$al siguiente problema de valores en la frontera sobredeterminado :

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\quad &{\text{ en }}\Omega \\{\frac {\partial u}{\partial n}}=0,\quad &{\text{ en }}\partial \Omega \\u=1,\quad &{\text{ en }}\partial \Omega \end{cases}}}$

para algún valor propio${\displaystyle \lambda >0}$y alguna constante, entonces el dominio${\displaystyle \Omega }$debe ser una bola. Las bolas siempre admiten soluciones a este tipo de problemas de valor sobredeterminados. En una bola, uno puede elegir${\displaystyle u}$ser una autofunción de Neumann radialmente simétrica del laplaciano, que satisfará las dos primeras ecuaciones anteriores. Dado que además es radialmente simétrico,${\displaystyle u}$es constante en${\displaystyle \partial \Omega }$, por lo tanto, al reescalar la autofunción de Neumann, se puede asegurar también la tercera ecuación.

• Pompeiu, Dimitrie (1929), "Sur sures systèmes d'équations linéaires et sur une propriété intégrale des fonctions de plusieurs variables", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 188 : 1138– 1139
• Ciatti, Paolo (2008), Temas de análisis matemático , Serie sobre análisis, aplicaciones y computación, vol.  3, World Scientific, ISBN 978-981-281-105-9

• Problema de Pompeya en el Departamento de Geometría, Instituto Bolyai, Universidad de Szeged, Hungría
• El problema de Pompeya en la enciclopedia de matemáticas SpringerLink
• El problema de Pompeya ,
• La conjetura de Schiffer ,