Probabilidad de póker

En el póker directo y en el póker de cinco cartas , donde no hay cartas ocultas , a los jugadores simplemente se les reparten cinco cartas de una baraja de 52.

La siguiente tabla enumera la frecuencia (absoluta) de cada mano, dadas todas las combinaciones de cinco cartas extraídas al azar de una baraja completa de 52 cartas sin reemplazo. No se consideran los comodines . En esta tabla:

• Las manos distintas se refieren al número de formas diferentes de obtener la misma mano, sin contar los distintos palos. En particular, un conjunto de manos que terminan empatadas se cuenta exactamente una vez, no varias veces.
• La frecuencia es el número de maneras de obtener la misma mano, incluyendo cartas del mismo valor en diferentes palos.
• La probabilidad de sacar una mano determinada se calcula dividiendo el número de formas de sacar la mano ( frecuencia ) por el número total de manos de 5 cartas (el espacio muestral ;${\textstyle {52 \elegir 5}=2{,}598{,}960}$Por ejemplo, hay 4 formas diferentes de obtener una escalera real (una por cada palo), por lo que la probabilidad es 4 / 2.598.960 , o una entre 649.740. Se esperaría entonces obtener esta mano aproximadamente una vez cada 649.740 extracciones, o casi el 0,000154% de las veces .
• La probabilidad acumulada se refiere a la probabilidad de obtener una mano igual o mejor que la especificada. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un trío es aproximadamente del 2,11 %, mientras que la probabilidad de obtener una mano al menos igual a un trío es de alrededor del 2,87 %. La probabilidad acumulada se calcula sumando la probabilidad de una mano a las probabilidades de todas las manos superiores.
• Las probabilidades se definen como la razón entre el número de maneras de no obtener la mano y el número de maneras de obtenerla. En estadística, esto se denomina probabilidades en contra . Por ejemplo, con una escalera real, hay 4 maneras de obtenerla y 2.598.956 maneras de obtener otra cosa, por lo que las probabilidades en contra de obtener una escalera real son 2.598.956  : 4, o 649.739  : 1. La fórmula para establecer las probabilidades también se puede expresar como (1/p) – 1  : 1 , donde p es la probabilidad mencionada anteriormente.
• Los valores dados para Probabilidad , Probabilidad acumulada y Probabilidades se han redondeado para simplificar; los valores de Manos distintas y Frecuencia son exactos.

La función nCr o nCk en la mayoría de las calculadoras científicas se puede utilizar para calcular frecuencias de manos; al ingresar nCrcon 52y 5, por ejemplo, se obtiene${\textstyle {52 \elegir 5}=2{,}598{,}960}$como se indicó anteriormente.

La escalera real es un caso de escalera de color. Se puede formar de 4 maneras (una por cada palo), lo que le da una probabilidad de 0,000154% y unas probabilidades de 649.739  :1.

Cuando no se tienen en cuenta las escaleras con as bajo ni las escaleras de color con as bajo, las probabilidades de cada una se reducen: las escaleras y las escaleras de color se vuelven 9/10 de comunes de lo que serían de otro modo. Las 4 escaleras de color que faltaban se convierten en colores y las 1020 escaleras que faltaban se convierten en ninguna pareja.

Cabe destacar que, dado que los palos no tienen valor relativo en el póker, dos manos pueden considerarse idénticas si una se puede transformar en la otra intercambiando los palos. Por ejemplo, la mano 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ es idéntica a 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥ porque al reemplazar todos los tréboles de la primera mano por diamantes y todas las picas por corazones se obtiene la segunda. Así pues, al eliminar las manos idénticas que ignoran el valor relativo de los palos, solo existen 134.459 manos distintas.

El número de manos de póker distintas es aún menor. Por ejemplo, 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ y 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ no son manos idénticas si simplemente ignoramos la asignación de palos, ya que una mano tiene tres palos, mientras que la otra solo tiene dos; esa diferencia podría afectar el valor relativo de cada mano cuando quedan más cartas por repartir. Sin embargo, aunque las manos no sean idénticas desde esa perspectiva, siguen formando manos de póker equivalentes porque cada una es una mano de carta alta AQ-8-7-3 . Hay 7462 manos de póker distintas.

En algunas variantes populares de póker, como el Texas hold 'em , la variante de póker más extendida en general, ^{[ 3 ]} un jugador utiliza la mejor mano de póker de cinco cartas de entre siete cartas.

Las frecuencias se calculan de manera similar a la mostrada para manos de 5 cartas, ^{[ 4 ]} excepto que surgen complicaciones adicionales debido a las dos cartas extra en la mano de póker de 7 cartas. El número total de manos distintas de 7 cartas es${\textstyle {52 \elegir 7}=133{,}784{,}560}$Cabe destacar que la probabilidad de no tener pareja es menor que la probabilidad de tener una pareja o dos parejas.

La escalera de color o escalera real con as alto es ligeramente más frecuente (4324) que las escaleras de color inferiores (4140 cada una) porque las dos cartas restantes pueden tener cualquier valor; una escalera de color con rey alto, por ejemplo, no puede tener el as de su palo en la mano (ya que eso la convertiría en una escalera con as alto).

(Las frecuencias indicadas son exactas; las probabilidades y las probabilidades son aproximadas).

Dado que los palos no tienen valor relativo en el póker, dos manos pueden considerarse idénticas si una se puede transformar en la otra intercambiando los palos. Si se eliminan las manos idénticas sin tener en cuenta el valor relativo de los palos, quedan 6.009.159 manos distintas de 7 cartas.

El número de manos de póker distintas de 5 cartas que son posibles con 7 cartas es 4.824. Quizás resulte sorprendente, pero este número es menor que el de manos de póker de 5 cartas que se pueden formar con 5 cartas, ya que algunas manos de 5 cartas son imposibles con 7 cartas (por ejemplo, manos de 7 y manos de 8).

Algunas variantes de póker, llamadas lowball , utilizan una mano baja para determinar la mano ganadora. En la mayoría de las variantes de lowball, el as se cuenta como la carta más baja y las escaleras y los colores no cuentan contra una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano de cinco cartas más alta A-2-3-4-5 , también llamada rueda . La probabilidad se calcula en función de${\textstyle {52 \elegir 5}=2{,}598{,}960}$, el número total de combinaciones de 5 cartas. (Las frecuencias indicadas son exactas; las probabilidades y las posibilidades son aproximadas).

Como se puede observar en la tabla, en poco más de la mitad de los casos un jugador obtiene una mano sin parejas, tríos ni pókeres. (50,7%)

Si los ases no son de baja calidad, simplemente gire las descripciones de las manos de modo que "6-alto" reemplace a "5-alto" como la mejor mano y "as-alto" reemplace a "rey-alto" como la peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colores al calcular la mano más baja en lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de manera que "5-high" no aparece, "6-high" tiene una mano distinta y "King-high" tiene 330 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustarse.

En algunas variantes de póker, un jugador utiliza la mejor mano baja de cinco cartas seleccionada de siete cartas. En la mayoría de las variantes de lowball, el as se cuenta como la carta más baja y las escaleras y los colores no cuentan contra una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano alta de cinco cartas A-2-3-4-5 , también llamada rueda . La probabilidad se calcula en función de${\textstyle {52 \elegir 7}=133,784,560}$, el número total de combinaciones de 7 cartas.

La tabla no incluye manos de cinco cartas con al menos una pareja. Su "Total" representa el 95,4% de las veces que un jugador puede seleccionar una mano baja de cinco cartas sin ninguna pareja.

(Las frecuencias indicadas son exactas; las probabilidades y las probabilidades son aproximadas).

Si los ases no son de baja calidad, simplemente gire las descripciones de las manos de modo que "6-alto" reemplace a "5-alto" como la mejor mano y "as-alto" reemplace a "rey-alto" como la peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colores al calcular la mano más baja en lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de manera que "5-high" no aparece, "6-high" tiene 781.824 manos distintas y "King-high" tiene 21.457.920 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustarse.