intersección plano-plano

En geometría , la intersección de dos planos en el espacio tridimensional es una línea o el conjunto vacío para planos paralelos.

Formulación

La línea de intersección entre dos planos y donde están normalizados viene dada por $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ ${\boldsymbol {n}}_{i}$

{\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})

dónde

c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}

c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.

Derivación

Esto se comprueba al observar que la línea debe ser perpendicular a las normales de ambos planos y, por lo tanto, paralela a su producto vectorial (este producto vectorial es cero si y solo si los planos son paralelos y, por consiguiente, no se intersecan o coinciden completamente). ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$

El resto de la expresión se obtiene encontrando un punto arbitrario en la línea. Para ello, consideremos que cualquier punto en el espacio puede escribirse como , ya que es una base . Deseamos encontrar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), así que sustituimos esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que pueden resolverse para y . ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ $c_{1}$ $c_{2}$

Si además suponemos que y son ortonormales , entonces el punto más cercano en la línea de intersección al origen es . Si ese no es el caso, entonces debe utilizarse un procedimiento más complejo. ^[¹^] ${\boldsymbol {n}}_{1}$ ${\boldsymbol {n}}_{2}$ ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$

Ángulo diedro

Dados dos planos que se intersecan, descritos por y , el ángulo diedro entre ellos se define como el ángulo entre sus direcciones normales: $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ $\alpha$

\cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.

Referencias

↑ Intersección plano-plano - de Wolfram MathWorld . Mathworld.wolfram.com. Consultado el 20 de agosto de 2013.

[1] Intersección plano-plano - de Wolfram MathWorld . Mathworld.wolfram.com. Consultado el 20 de agosto de 2013.

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