estadísticas de fotones

La estadística de fotones es el estudio teórico y experimental de las distribuciones estadísticas que se producen en los experimentos de conteo de fotones , los cuales utilizan fotodetectores para analizar la naturaleza estadística intrínseca de los fotones en una fuente de luz. En estos experimentos, la luz incidente sobre el fotodetector genera fotoelectrones y un contador registra pulsos eléctricos que generan una distribución estadística del número de fotones. Es posible diferenciar fuentes de luz dispares de baja intensidad mediante las distribuciones estadísticas correspondientes que se producen durante el proceso de detección.

Se pueden obtener tres regímenes de distribuciones estadísticas dependiendo de las propiedades de la fuente de luz: poissoniana , superpoissoniana y subpoissoniana. ^{[ 1 ]} Los regímenes se definen por la relación entre la varianza y el número promedio de recuentos de fotones para la distribución correspondiente. Tanto la luz poissoniana como la superpoissoniana pueden describirse mediante una teoría semiclasica en la que la fuente de luz se modela como una onda electromagnética y el átomo se modela según la mecánica cuántica . En cambio, la luz subpoissoniana requiere la cuantización del campo electromagnético para una descripción adecuada y, por lo tanto, es una medida directa de la naturaleza corpuscular de la luz.

En la teoría electromagnética clásica, una fuente de luz ideal con intensidad constante puede modelarse mediante una onda electromagnética espacial y temporalmente coherente de una sola frecuencia. Dicha fuente de luz puede modelarse mediante ^{[ 1 ].}

${\displaystyle E(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t+\phi )}$

dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia del campo y${\displaystyle \phi }$es un cambio de fase independiente del tiempo.

El análogo en mecánica cuántica es el estado coherente ^{[ 1 ].}

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\alpha }^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {{-\left\vert {\alpha }\right\vert }^{2}}{2}}|n\rangle }$

Al proyectar el estado coherente sobre el estado de Fock${\displaystyle |n\rangle }$, podemos hallar la probabilidad${\displaystyle P_{n}}$de encontrar${\displaystyle n}$fotones usando la regla de Born , que da

${\displaystyle P_{n}={\frac {{\left\vert \alpha \right\vert }^{2n}}{n!}}e^{{-\left\vert \alpha \right\vert }^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }}$

El resultado anterior es una distribución de Poisson con varianza${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle }$lo cual es una característica distintiva del estado coherente.

La luz que se rige por estadísticas super-Poissonianas exhibe una distribución estadística con varianza${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$Un ejemplo de luz que presenta estadísticas super-poissonianas es la luz térmica . La intensidad de la luz térmica fluctúa aleatoriamente y estas fluctuaciones dan lugar a estadísticas super-poissonianas, como se muestra a continuación al calcular la distribución de las fluctuaciones de intensidad. ^{[ 2 ]} Utilizando la distribución de intensidad junto con la fórmula de Mandel ^{[ 3 ]} que describe la probabilidad del número de fotones registrados por un fotodetector, se puede obtener la distribución estadística de fotones en la luz térmica.

La luz térmica puede modelarse como una colección de${\displaystyle N}$osciladores armónicos. Supongamos que${\displaystyle j}$El oscilador emite un campo electromagnético.${\displaystyle E_{j}(t)=E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$con fase${\displaystyle \phi _{j}(t)}$. Utilizando la teoría de superposición de campos, el campo total producido por el${\displaystyle N}$osciladores es

${\displaystyle E(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{j}(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$

Después de extraer todas las variables que son independientes del índice de sumatoria${\displaystyle j}$, una amplitud compleja aleatoria puede definirse mediante

${\displaystyle \beta (t)=\sum _{j=1}^{N}e^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\Phi (t)}}$

dónde${\displaystyle \beta (t)}$fue reescrito en términos de su magnitud${\displaystyle b(t)=\left\vert \beta \right\vert }$y su fase${\displaystyle e^{i\Phi (t)}}$Debido a que los osciladores no están correlacionados, la fase del campo superpuesto será aleatoria. Por lo tanto, la amplitud compleja${\displaystyle \beta (t)}$es una variable estocástica. Representa la suma de las fases no correlacionadas de los osciladores que modelan las fluctuaciones de intensidad en la luz térmica. En el plano complejo , representa un caminante aleatorio bidimensional con${\displaystyle N}$representando los pasos dados. Para grandes${\displaystyle N}$Un caminante aleatorio tiene una distribución de probabilidad gaussiana . Por lo tanto, la distribución de probabilidad conjunta para las partes real e imaginaria de la variable aleatoria compleja es...${\displaystyle \beta (t)}$se puede representar como,

${\displaystyle p(\beta (t))=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Re(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-\left({Re(\beta (t))}^{2}+{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Después${\displaystyle N}$pasos, el valor esperado del radio al cuadrado es${\displaystyle \langle {\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =2\sigma ^{2}=N}$El valor esperado${\displaystyle \langle \left\vert \beta (t)\right\vert \rangle =0}$lo cual puede pensarse como que todas las direcciones son igualmente probables. Reescribiendo la distribución de probabilidad en términos de${\displaystyle N}$resultados en

${\displaystyle p(\beta (t))={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}}$

Con la distribución de probabilidad anterior, ahora podemos hallar la intensidad media del campo (donde se han omitido varias constantes para mayor claridad).

${\displaystyle \langle I(t)\rangle =\langle E^{*}(t)E(t)\rangle }$

${\displaystyle ={E_{0}}^{2}{\langle \left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =N{E_{0}}^{2}}$

La intensidad instantánea del campo${\displaystyle I(t)}$es dado por

${\displaystyle I(t)=E^{*}(t)E(t)=E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}$

Debido a que el campo eléctrico y, por lo tanto, la intensidad dependen de la variable compleja estocástica${\displaystyle \beta (t)}$. La probabilidad de obtener una intensidad entre${\displaystyle I}$y${\displaystyle I+dI}$es

${\displaystyle p(I(t))dI=p(I(\beta (t)))d^{2}\beta }$

dónde${\displaystyle d^{2}\beta }$es el elemento infinitesimal en el plano complejo. Este elemento infinitesimal se puede reescribir como

${\displaystyle d^{2}\beta =2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert d\left\vert \beta (t)\right\vert }$

La distribución de intensidad anterior ahora se puede escribir como

${\displaystyle p(I(t))=p(\left\vert \beta (t)\right\vert )2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\vert \right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{NE_{0}^{2}}}e^{\frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}}$

Esta última expresión representa la distribución de intensidad para la luz térmica. El último paso para demostrar que la luz térmica satisface la condición de varianza para la estadística super-Poisson es utilizar la fórmula de Mandel. ^{[ 3 ]} La fórmula describe la probabilidad de observar n recuentos de fotones y está dada por

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI}$

El factor${\displaystyle \epsilon ={\frac {\eta }{h\nu }}}$dónde${\displaystyle \eta }$La eficiencia cuántica describe la eficiencia del contador de fotones. Un detector perfecto tendría${\displaystyle \eta =1}$. ${\displaystyle I}$es la intensidad incidente sobre un área A del fotodetector y viene dada por ^{[ 4 ].}

${\displaystyle I=\iint \limits _{A}\int _{t}^{t+\tau }\,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy}$

Al sustituir la distribución de probabilidad de intensidad de la luz térmica por P(I), la fórmula de Mandel se convierte en:

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n!\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty }{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }}\right)I}dI}$

Utilizando la siguiente fórmula para evaluar la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\quad \left(n=0,1,2,..a>0\right)}$

La distribución de probabilidad para n recuentos de fotones de una fuente de luz térmica es

${\displaystyle P(n)={\frac {1}{\left(\langle n\rangle +1\right)}}{\left({\frac {\langle n\rangle }{\langle n\rangle +1}}\right)}^{n}}$

dónde${\displaystyle \langle n\rangle =\epsilon I}$es el número promedio de recuentos. Esta última distribución se conoce como la distribución de Bose-Einstein. Se puede demostrar que la varianza de la distribución es

${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle +{\langle n\rangle }^{2}}$

En contraste con la distribución de Poisson para una fuente de luz coherente , la distribución de Bose-Einstein tiene ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$Característica de la luz térmica.

La luz que se rige por estadísticas sub-Poisson no puede describirse mediante la teoría electromagnética clásica y se define por ${\displaystyle {\Delta n}^{2}<\langle n\rangle }$[ ^{1 ]} La llegada de los fotodetectores ultrarrápidos ha hecho posible medir la naturaleza sub-poissoniana de la luz. Un ejemplo de luz que exhibe estadísticas sub-poissonianas es la luz comprimida. Recientemente, los investigadores han demostrado que la luz sub-poissoniana puede inducirse en un ^punto cuántico que exhibe fluorescencia de resonancia . ^{[ 5 ]} Una técnica utilizada para medir la estructura sub-poissoniana de la luz es un esquema de correlación de intensidad homodina. ^{[ 6 ]} En este esquema, un oscilador local y un campo de señal se superponen a través de un divisor de haz . La luz superpuesta se divide luego mediante otro divisor de haz y cada señal es registrada por fotodetectores individuales conectados a un correlador a partir del cual se puede medir la correlación de intensidad. La evidencia de la naturaleza sub-poissoniana de la luz se muestra al obtener una correlación de intensidad negativa como se mostró en. ^{[ 5 ]}