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Modelo de campo de fase

Un modelo de campo de fase es un modelo matemático para resolver problemas interfaciales. Se ha aplicado principalmente a la dinámica de solidificación, [ 1 ] pero también se ha...

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Un modelo de campo de fase es un modelo matemático para resolver problemas interfaciales. Se ha aplicado principalmente a la dinámica de solidificación, [ 1 ] pero también se ha aplicado a otras situaciones como la formación de dedos viscosos , [ 2 ] la mecánica de fractura , [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] la fragilización por hidrógeno , [ 7 ] y la dinámica de vesículas . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

El método sustituye las condiciones de contorno en la interfaz por una ecuación diferencial parcial que describe la evolución de un campo auxiliar (el campo de fase), el cual actúa como parámetro de orden . Este campo de fase toma dos valores distintos (por ejemplo, +1 y −1 ) en cada fase, con una transición suave entre ambos valores en la zona alrededor de la interfaz, la cual se difumina con un ancho finito. Una ubicación discreta de la interfaz puede definirse como el conjunto de todos los puntos donde el campo de fase toma un valor determinado (por ejemplo, 0).

Un modelo de campo de fase se construye generalmente de tal manera que, en el límite de un ancho de interfaz infinitesimal (el llamado límite de interfaz nítida), se recupera la dinámica interfacial correcta. Este enfoque permite resolver el problema integrando un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para todo el sistema, evitando así el tratamiento explícito de las condiciones de contorno en la interfaz.

Los modelos de campo de fase fueron introducidos por primera vez por Fix [ 12 ] y Langer [ 13 ] , y han despertado un creciente interés en la solidificación y otras áreas. Langer [ 13 ] tenía notas manuscritas donde mostraba que se podían usar ecuaciones acopladas de Cahn-Hilliard y Allen-Cahn para resolver un problema de solidificación . George Fix trabajó en el problema de programación. Langer consideró, en aquel momento, que el método no tenía utilidad práctica, ya que el espesor de la interfaz es muy pequeño en comparación con el tamaño de una microestructura típica, por lo que nunca se molestó en publicarlo.

Ecuaciones del modelo de campo de fase

Los modelos de campo de fase se construyen habitualmente para reproducir una dinámica interfacial dada. Por ejemplo, en problemas de solidificación, la dinámica del frente viene dada por una ecuación de difusión para la concentración o la temperatura en el volumen y algunas condiciones de contorno en la interfaz (una condición de equilibrio local y una ley de conservación ), [ 14 ] lo que constituye el modelo de interfaz nítida.

Una microestructura de dos fases y el parámetro de ordenφ{\displaystyle \varphi }El perfil se muestra en una línea que atraviesa el dominio. El cambio gradual del parámetro de orden de una fase a otra muestra la naturaleza difusa de la interfaz.

Diversas formulaciones del modelo de campo de fase se basan en una función de energía libre que depende de un parámetro de orden (el campo de fase) y un campo difusivo (formulaciones variacionales). Las ecuaciones del modelo se obtienen mediante relaciones generales de la física estadística . Dicha función se construye a partir de consideraciones físicas, pero contiene un parámetro o una combinación de parámetros relacionados con el ancho de la interfaz. Los parámetros del modelo se eligen estudiando el límite del modelo cuando este ancho tiende a cero, de manera que se pueda identificar dicho límite con el modelo de interfaz nítida deseado.

Otras formulaciones parten de la escritura directa de las ecuaciones de campo de fase, sin hacer referencia a ningún funcional termodinámico (formulaciones no variacionales). En este caso, la única referencia es el modelo de interfaz nítida, en el sentido de que debe recuperarse al aplicar el límite de ancho de interfaz pequeño al modelo de campo de fase.

En principio, las ecuaciones de campo de fase reproducen la dinámica interfacial cuando el ancho de la interfaz es pequeño en comparación con la escala de longitud más pequeña del problema. En la solidificación, esta escala es la longitud capilar.do{\displaystyle d_{o}}, que es una escala microscópica . Desde un punto de vista computacional, la integración de ecuaciones diferenciales parciales que resuelven una escala tan pequeña es prohibitiva. Sin embargo, Karma y Rappel introdujeron el límite de interfaz delgada, [ 15 ] que permitió relajar esta condición y abrió el camino a simulaciones cuantitativas prácticas con modelos de campo de fase. Con el creciente poder de las computadoras y el progreso teórico en el modelado de campo de fase, estos modelos se han convertido en una herramienta útil para la simulación numérica de problemas interfaciales.

Formulaciones variacionales

Se puede construir un modelo para un campo de fase mediante argumentos físicos si se dispone de una expresión explícita para la energía libre del sistema. Un ejemplo sencillo para problemas de solidificación es el siguiente:

F[mi,φ]=∫dr[K|∇φ|2+h0F(φ)+mi0tú(φ)2]{\displaystyle F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]}

dóndeφ{\displaystyle \varphi }es el campo de fase,tú(φ)=mi/mi0+h(φ)/2{\displaystyle u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2},mi{\displaystyle e}es la entalpía local por unidad de volumen,h{\displaystyle h}es una cierta función polinómica deφ{\displaystyle \varphi }, ymi0=L2/TMETROdopag{\displaystyle e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}}(dóndeL{\displaystyle L}es el calor latente ,TMETRO{\displaystyle T_{M}}es la temperatura de fusión ydopag{\displaystyle c_{p}}es el calor específico). El término con∇φ{\displaystyle \nabla \varphi}corresponde a la energía interfacial. La funciónF(φ){\displaystyle f(\varphi )}Por lo general, se toma como un potencial de doble pozo que describe la densidad de energía libre del volumen de cada fase, que a su vez corresponden a los dos mínimos de la función.F(φ){\displaystyle f(\varphi )}Las constantesK{\displaystyle K}yh0{\displaystyle h_{0}}tienen respectivamente dimensiones de energía por unidad de longitud y energía por unidad de volumen. El ancho de la interfaz viene dado porW=K/h0{\displaystyle W={\sqrt {K/h_{0}}}}. El modelo de campo de fase se puede obtener a partir de las siguientes relaciones variacionales: [ 16 ]

∂tφ=−1τ(δFδφ)+η(r,t){\displaystyle \partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)}
∂tmi=Dmi0∇2(δFδmi)−∇⋅qmi(r,t).{\displaystyle \partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).}

donde D es un coeficiente de difusión para la variablemi{\displaystyle e}, yη{\displaystyle \eta }yqmi{\displaystyle \mathbf {q} _{e}}son términos estocásticos que dan cuenta de las fluctuaciones térmicas (y cuyas propiedades estadísticas se pueden obtener del teorema de fluctuación-disipación ). La primera ecuación da una ecuación para la evolución del campo de fase, mientras que la segunda es una ecuación de difusión, que generalmente se reescribe para la temperatura o para la concentración (en el caso de una aleación). Estas ecuaciones son, escalando el espacio conl{\displaystyle l}y momentos conl2/D{\displaystyle l^{2}/D}:

αε2∂tφ=ε2∇2φ−F′(φ)−mi0h0h′(φ)tú+η~(r,t){\displaystyle \alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}
∂ttú=∇2tú+12h′(φ)∂tφ−∇⋅qtú(r,t){\displaystyle \partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}

dóndeε=W/l{\displaystyle \varepsilon =W/l}es el ancho de interfaz adimensional,α=Dτ/W2h0{\displaystyle \alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}}, yη~(r,t){\displaystyle {\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}, qtú(r,t){\displaystyle \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}son ruidos adimensionalizados.

Funciones de densidad de energía alternativas

La elección de la función de energía libre,F(φ){\displaystyle f(\varphi )}, puede tener un efecto significativo en el comportamiento físico de la interfaz, y debe seleccionarse con cuidado. La función de doble pozo representa una aproximación de la ecuación de estado de Van der Waals cerca del punto crítico, y se ha utilizado históricamente por su simplicidad de implementación cuando el modelo de campo de fase se emplea únicamente para propósitos de seguimiento de la interfaz. Pero esto ha llevado al fenómeno de contracción espontánea de gotas observado frecuentemente, por el cual la alta miscibilidad de fase predicha por una ecuación de estado cerca del punto crítico permite una interpenetración significativa de las fases y puede eventualmente llevar a la desaparición completa de una gota cuyo radio es inferior a algún valor crítico. [ 17 ] Minimizar las pérdidas de continuidad percibidas durante la duración de una simulación requiere límites en el parámetro de movilidad, lo que resulta en un delicado equilibrio entre el ensanchamiento interfacial debido a la convección, la reconstrucción interfacial debido a la minimización de la energía libre (es decir, difusión basada en la movilidad) y la interpenetración de fase, también dependiente de la movilidad. Una revisión reciente de funciones de densidad de energía alternativas para aplicaciones de seguimiento de interfaces ha propuesto una forma modificada de la función de doble obstáculo que evita los fenómenos de contracción espontánea de gotas y los límites de movilidad, [ 18 ] con resultados comparativos que proporcionan una serie de simulaciones de referencia utilizando la función de doble pozo y la técnica de interfaz nítida de volumen de fluido . La implementación propuesta tiene una complejidad computacional solo ligeramente mayor que la de la función de doble pozo, y puede resultar útil para aplicaciones de seguimiento de interfaces del modelo de campo de fase donde la duración/naturaleza de los fenómenos simulados introduce problemas de continuidad de fase (es decir, gotas pequeñas, simulaciones extendidas, interfaces múltiples, etc.).

Límite de interfaz nítida de las ecuaciones de campo de fase

Se puede construir un modelo de campo de fase para reproducir deliberadamente una dinámica interfacial dada, representada por un modelo de interfaz nítida. En tal caso, se debe calcular el límite de interfaz nítida (es decir, el límite cuando el ancho de la interfaz tiende a cero) del conjunto de ecuaciones de campo de fase propuesto. Este límite se suele obtener mediante expansiones asintóticas de los campos del modelo en potencias del ancho de la interfaz.ε{\displaystyle \varepsilon }Estas expansiones se realizan tanto en la región interfacial (expansión interna) como en el volumen (expansión externa), y luego se ajustan asintóticamente orden por orden. El resultado proporciona una ecuación diferencial parcial para el campo difusivo y una serie de condiciones de contorno en la interfaz, que deben corresponder al modelo de interfaz nítida y cuya comparación con este proporciona los valores de los parámetros del modelo de campo de fase.

Mientras que tales expansiones se realizaron en los primeros modelos de campo de fase hasta el orden inferior enε{\displaystyle \varepsilon }Sin embargo, los modelos más recientes utilizan asintóticas de orden superior (límites de interfaz delgada) para cancelar efectos espurios no deseados o para incluir nueva física en el modelo. Por ejemplo, esta técnica ha permitido cancelar efectos cinéticos, [ 15 ] tratar casos con difusividades desiguales en las fases, [ 19 ] modelar la digitación viscosa [ 2 ] y flujos de Navier-Stokes de dos fases, [ 20 ] incluir fluctuaciones en el modelo, [ 21 ] etc.

Modelos de campo multifásico

Los parámetros de orden múltiple describen la microestructura de un material policristalino.

En los modelos de campo multifásico, la microestructura se describe mediante un conjunto de parámetros de orden, cada uno de los cuales está relacionado con una fase o una orientación cristalográfica específica. Este modelo se utiliza principalmente para transformaciones de fase en estado sólido donde evolucionan múltiples granos (por ejemplo, crecimiento de grano , recristalización o transformación de primer orden como la de austenita a ferrita en aleaciones ferrosas). Además de permitir la descripción de múltiples granos en una microestructura, los modelos de campo multifásico permiten, en particular, considerar múltiples fases termodinámicas que ocurren, por ejemplo, en grados de aleación técnica. [ 22 ]

Modelos de campo de fase en gráficos

Muchos de los resultados de los modelos de campo de fase continuo tienen análogos discretos para grafos, simplemente reemplazando el cálculo por cálculo en grafos .

Modelado de campo de fase en mecánica de fracturas

La fractura en sólidos se analiza numéricamente con frecuencia mediante el método de elementos finitos, utilizando representaciones de grietas discretas o difusas. Los enfoques que emplean la representación de elementos finitos suelen utilizar discontinuidades pronunciadas a nivel intraelemento y requieren criterios adicionales basados, por ejemplo, en tensiones, densidades de energía de deformación o tasas de liberación de energía, u otros tratamientos especiales como técnicas de cierre virtual de grietas y remallado para determinar las trayectorias de las grietas. En cambio, los enfoques que utilizan una representación de grietas difusas conservan la continuidad del campo de desplazamiento, como los modelos de daño continuo y las teorías de fractura de campo de fase. Estas últimas se basan en la reformulación del principio de Griffith en forma variacional y presentan similitudes con los modelos de daño con gradiente mejorado. Quizás la característica más atractiva de los enfoques de campo de fase para la fractura sea que la iniciación y las trayectorias de las grietas se obtienen automáticamente a partir de un problema de minimización que acopla las energías elástica y de fractura. En muchos casos, la nucleación de grietas puede tenerse en cuenta adecuadamente siguiendo las ramas de puntos críticos asociados a las soluciones elásticas hasta que pierden estabilidad. En particular, los modelos de fractura de campo de fase permiten la nucleación incluso cuando la densidad de energía de deformación elástica es espacialmente constante. [ 23 ] Una limitación de este enfoque es que la nucleación se basa en la densidad de energía de deformación y no en la tensión. Una visión alternativa, basada en la introducción de una fuerza impulsora de la nucleación, busca abordar este problema. [ 24 ]

Modelos de campo de fase para la migración celular colectiva

Un ejemplo de simulación de interacciones celulares colectivas en 3D utilizando el software Celadro-3D basado en un enfoque de campos multifásicos.

Un grupo de células biológicas puede autopropulsarse de forma compleja debido al consumo de adenosín trifosfato . Las interacciones entre células, como la cohesión o diversas señales químicas, pueden producir un movimiento coordinado, fenómeno denominado " migración celular colectiva ". Un modelo teórico para estos fenómenos es el modelo de campo de fase [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] , que incorpora un campo de fase para cada tipo de célula y variables de campo adicionales, como la concentración del agente quimiotáctico . Este modelo puede utilizarse para fenómenos como el cáncer, la extrusión celular , [ 28 ] la cicatrización de heridas, la morfogénesis y los fenómenos del ectoplasma .

Modelos de campo de fase para la electrodeposición de metales

La evolución morfológica de la electrodeposición de metales se ha simulado mediante campos de fase, lo que ha ayudado a los investigadores a comprender cómo los parámetros del proceso, como la concentración de iones y el voltaje aplicado, influyen en la formación de estructuras como las dendritas. El primer modelo integral de campo de fase para sistemas electroquímicos fue desarrollado por Guyer et al. [ 29 ] , que capturó con éxito la formación de la doble capa interfacial al resolver el conjunto completo de ecuaciones de Poisson-Nernst-Planck (PNP). Para superar las limitaciones computacionales de resolver escalas de longitud tan pequeñas, los modelos posteriores introdujeron simplificaciones como la condición de electroneutralidad local, lo que permitió la simulación de microestructuras más grandes, a escala micrométrica. [ 30 ] [ 31 ] Avances posteriores integraron la cinética no lineal de Butler-Volmer para reflejar con mayor precisión la relación entre el sobrepotencial y la velocidad de crecimiento de la interfaz. [ 32 ] [ 33 ] Más recientemente, investigadores como Cogswell han ampliado estos marcos al incorporar la cinética de Marcus para la transferencia de electrones en soluciones concentradas, proporcionando una descripción termodinámica más robusta del crecimiento dendrítico. [ 34 ] [ 35 ]

Software

  • PACE3D – Algoritmos Paralelos para la Evolución de Cristales en 3D es un paquete de simulación de campo de fase paralelizado que incluye transformaciones multifásicas y multicomponentes, estructuras de grano a gran escala y acoplamiento con flujo de fluidos e interacciones elásticas, plásticas y magnéticas. Se desarrolla en la Universidad de Ciencias Aplicadas de Karlsruhe y el Instituto Tecnológico de Karlsruhe .
  • El Proyecto de Simulación de Microestructuras a Mesoescala (MMSP, por sus siglas en inglés) es una colección de clases de C++ para la simulación de microestructuras basada en cuadrículas.
  • El software de simulación de evolución de microestructuras (MICRESS) es un paquete de simulación de campo multifásico y multicomponente acoplado a bases de datos termodinámicas y cinéticas. Es desarrollado y mantenido por ACCESS eV.
  • MOOSE es un marco de trabajo de elementos finitos multifísicos de código abierto y masivamente paralelo en C++ con soporte para simulaciones de campo de fase, desarrollado en el Laboratorio Nacional de Idaho.
  • PhasePot es una herramienta de simulación de microestructuras basada en Windows, que utiliza una combinación de modelos de campo de fase y de Monte Carlo Potts.
  • OpenPhase es un software de código abierto para la simulación de la formación de microestructuras en sistemas que experimentan una transformación de fase de primer orden, basado en el modelo de campo multifásico.
  • mef90/vDef es un simulador de fractura de campo de fase variacional de código abierto basado en la teoría desarrollada en. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]
  • MicroSim es un conjunto de software que consta de códigos de campo de fase que ofrecen flexibilidad en la discretización, los modelos y el hardware de computación de alto rendimiento (CPU/GPU) en el que se pueden ejecutar.
  • PRISMS-PF es un código de elementos finitos masivamente paralelo para realizar simulaciones de campo de fase y otras simulaciones relacionadas con la evolución de la microestructura. [ 36 ] Se basa en la biblioteca de elementos finitos deal.II y es desarrollado y mantenido por el Centro PRISMS de la Universidad de Michigan.
  • Celadro-3D es una extensión tridimensional de Celadro que utiliza modelos de campo multifásico para capturar la dinámica colectiva de gotas líquidas activas, como las células vivas, ofreciendo una plataforma flexible para incorporar modelos basados ​​en la física para la materia activa.
  • FEniCS es una biblioteca de código abierto para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) con el método de elementos finitos (MEF), que puede utilizarse para simulaciones de campo de fase.

Referencias

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Lecturas adicionales

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